《线性代数》应用例题.pdf

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1、《线性代数》应用题生产成本《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P33某工厂生产三种产品，它的成本分为三类，第一类成本中，给出生产单个产品时估计需要的量，同时给出每季度生产每种产品数量的估计。这些数据如下表如所：产品成本ABC原料0.10.30.15工资0.30.40.25管理费和其它0.10.20.15季度产品春季夏季秋季冬季A4000450045004000B2000260024002200C5800620060006000计算每一季度三类成本中的每一类成本的数量季度春季夏季秋季冬季原料工资管理费和其它0.10.30.15?=[0.30

2、.40.25]0.10.20.154000450045004000?=[2000260024002200]5800620060006000第三个表格通过??来计算。2信息编码《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P92一个通用的传递信息的方法是，将每一个字母与一个整数相对应，然后传输一串整数。例如，信息SENDMONEY可以编码为5，8，10，21，7，2，10，8，3其中S表示为5，E表示为8，等等。但是，这种编码很容易破译，在一段较长的信息中，我们可以根据数字出现的相对频率猜测每一数字表示的字母。例如，若8为编码信息中最常出现的数字，则

3、它最有可能表示字母E，即英文中最常出现的字母。我们可以用矩阵乘法对信息进行进一步的加密。设?是所有元素均为整数的矩阵，且其行列式为±1，由于?−1=±?∗，则?−1的元素也是整数，我们可以用这个矩阵对信息进行加密，加密后的信息将很难破译。下面介绍具体的加密方法。令121?=[253]232需要编码的信息放置在三行矩阵?的各个列上。52110?=[878]1023乘积12152110313729??=[253][878]=[808369]2321023546750给出了用于传输的编码信息：31，80，54，37，83，67，29，69，50接收到信息的

4、人可以通过乘以?−1进行解码?−1(??)=?因为1−11?−1=[20−1]−411则1−1131372952110[20−1][808369]=[878]−4115467501023由于整数在计算机是准确表示的，而小数在计算机中是近似表示的，所以保证?−1的元素是整数非常重要，否则，如果?−1的元素是小数，则解密后信息会因为误差造成与原始信息不同，这样的加密算法就没有意义了。为了保证?−1的元素是整数，我们要求

5、?

6、=±1。为构造编码矩阵?，我们可以从单位矩阵?开始，多次采用如下运算：将某一行(列)?(?≠0)倍加到另一行(列)3交换两行(列

7、)结果矩阵?的元素还是整数，且

8、?

9、=±

10、?

11、=±1因此?−1的元素也是整数。如果满足

12、?

13、=±1条件的矩阵很少，则这个加密的算法就没有实际意义，因为破解者可以逐个构造出这样的矩阵进行破解。从上面的构造过程看，满足

14、?

15、=±1条件的矩阵有很多，所以这个加密算法具有实际意义。参考书中提供的参考文献1.Hansen,Robert,Two-YearCollegeMathematicsJournal,13(1),1982.