数值分析习题选讲.pdf

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1、第一章1、当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程中，一般要经历哪几个阶段？在哪些阶段将有哪些误差产生？答：实际问题数学模型数值方法计算结果在数学模型阶段产生模型误差和观测误差，在数值方法阶段产生方法误差、传播误差和舍入误差。第二章2.1利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：x-101/21（1）if-3-1/201ix-101/21（2）if-3/2001/2i解(2)：方法一.由Lagrange插值公式L(x)fl(x)fl(x)fl(x)fl(x)300112233x(x1)(x1)211l(x)

2、x(x)(x1),032(1)()(2)32(x1)(x1)(x1)l(x)22(x21)(x1)，1122(x1)(xx1)82lx()(x1)x,231(1)3222(x1)x(x1)21l(x)(x1)x(x).3122122可得：L(x)x(x12)3证明(2)：利用Newton插值多项式N(x)f(x)f[x,x](xx)f[x,,x](xx)(xx)n00100n0n1(xx)(xx)1nf(x)l(x)0(xx)(xx)010n差商表：f(x)一

3、阶二阶…n阶差商x101x01xx0110(xx)(xx)02011x00n(xx)(xx)010n代入()式有：xx(xx)(xx)00n1N(x)1.nxx(xx)(xx)(xx)0101020nl(x)为n次代数多项式，由插值多项式的唯一性：0有l(x)N(x).□0n732.3若f(x)xx1，问：017018f[3,3,,3]?;f[2,2,,2]?.73解f(x)xx1.有：(7)(8)017f()018f()f[3,3,,3]=1,f[2,2,,2]0.7!8

4、!x2.4设y=f(x)=e,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多项式求f(1.2)及f(2.8)的近似值.解相应的函数值及差分表如下:求f(1.2)用Newton前插公式,且由1.2=1+0.5t,得t=0.4求f(2.8)用Newton后插公式,且由2.8=3+0.5t,得t=-0.4第四章4.1求系数A,A和A，使求积公式1231f(x)dxAf(1)Af(1/3)Af(1/3),1231对于次数2的一切多项式都是精确成立的.解：求积公式1f(x)dxAf(1)Af(1)Af(1)1123332是一个插值型求积公式，令

5、f(x)1,x,x得：AAA2,12311AAA0,1233311AAA2，192933解得：A1，A0，A3122324.2确定参数a使求积公式的代数精度尽可能地高hhf(x)dx[f(0)f(h)]ah2[f(0)f(h)].(*)02n解令：f(x)x，n2得：1n11n1nn1hhah,n1211n1an,an122n(n1)(*)公式对f(x)1、x精确成立.当n2时，a1，n3时，a1，n4时，a3，121240故：当取a1时，（*）具有3次代精确度.□124.3求数

6、值微分公式的余项.f(x)(3f(x)4f(xh)f(x2h))/2h.0000解：于x，x2h，xh三点作f(x)的Lagrange插值多项式：000(xxh)(xx2h)00L(x)f(x)2202h(xx)(xx2h)00f(xh)20h(xx)(xxh)00f(x2h).202h2x2x3h0L(x)f(x)2202h(2x2x2h)(2x2xh)00f(xh)f(x2h).2020h2h令xx，得：0f(x)(3f(x)4f(xh)f(x2h))/2h0000余项

7、：因为(3)f()R(x)f(x)L(x)(xx)(xxh)(xx2h)20003!有(3)f()2R(x)f(x)L(x)h.002034.4试给出[,]ab上的复化梯形求积公式，并描述其自适应算法。解：记Tn为n等分[a,b]后用复化梯形公式算得的积分值，于是nhTn[f(xk1)f(xk)]2k1将[a,b]作2n等分，则[x,x][x,x][x,x]k1kk1k1/2k1/2k此时，[x,x]上的积分值为k1kh/2h/2[f(x)f(x)][f(x)f(x)]k1k1/2k1/2k22于

8、是nh/2