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1、第四章矩阵1、矩阵概念的一些背景矩阵是线性代数中最基本的概念之一，也是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武器之一。矩阵在密码学中的应用实例古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下，把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷，即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的。1929年，Hill提出了一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞生从此使密码学进入了以数学方法处理问题
2、的新阶段。化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。定义化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。定义1由个数排成的行列的数表称为矩阵.矩阵的定义简记为例1是一个实矩阵,是一个复矩阵,例2n维向量也可以看成矩阵的特殊形式：n维行向量就是1×n矩阵；n维列向量就是n×1矩阵。设A＝(aij)mn，B＝(bij)lk，如果m＝l，n＝k，且对于i＝1,2,…,m；j＝1,2,…,n,都成立，称A＝B。如是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.例42、矩阵的运算1、加法定义1设
3、则称为A和B的和，记为C＝A+B。注1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加的矩阵必须要有相同的行数和列数2）矩阵加法满足结合律：A+(B+C)=(A+B)+C；交换律：A+B=B+A。3）元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Osn或O。对于所有的矩阵A，都有A+O＝A。4）矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为-A。则有A+(-A)＝O。5）矩阵的减法定义为A－B＝A＋(-B)6）秩(A＋B)≤秩(A)＋秩(B)说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1引例1变量组之间的关系设有三组变量x1,x2,x3,x4、y1,y2,y3、z1,z2，它们之间的关系分
4、别为2、乘法求x1,x2,x3,x4与z1,z2之间的关系.把(2)代入(1)，得如果用来表示x1,x2,x3,x4与z1,z2之间的关系，比较(3)，(4)两式，就有引例2总收入与总利润设某地区有甲、乙、丙三个工厂,每个工厂都产品工厂ⅠⅡⅢⅣ甲乙丙203010451510702020153525产量(单位:个)如下表所示:生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4种产品.已知每个工厂的年已知每种产品的单价(元/个)和单位利润(元/个)如下表所示:项目产品单价单位利润ⅠⅡⅢⅣ100201504530012020060求各工厂的总收入与总利润.解容易算出各工厂的总收入与总利润,也项
5、目工厂总收入总利润甲乙丙1550056502800010350197506775本例中的三个表格可用三个矩阵表示,设可以列表如下:定义2设，那么矩阵其中称为A与B的乘积，记为例１注1）两个矩阵相乘，必须第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。2）计算法则：两个矩阵A与B乘积的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B第j列的对应元素乘积的和。3）矩阵乘法满足（1）结合律（2）分配律4）矩阵乘法不满足交换律，即一般来说例如设则5）矩阵乘法不满足消去律，即当时，不一定有；因为由上例可以看到，两个不为零的矩阵的乘积可以是零。定义3主对角线上的元素全是
6、1，其余元素全是0的n×n矩阵称为n级单位矩阵，记为，简记为E。显然有特别的,如果,则称可交换.定义4设A是一n×n矩阵，则A的方幂定义为由乘法结合律有注1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。2）一般来说若令方程组变成例3设则3、数量乘法定义5矩阵注1）用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k。2）数量乘法满足定义矩阵通常称为数量矩阵。4、转置定义6设所谓A的转置就是指矩阵注1）s×n矩阵的转置是n×s矩阵。2）矩阵的转置满足例如例4已知解法1解法23、矩阵乘积的行列式与秩1、乘积的行列式定理1设A,B是数域P上的两个n×n矩阵，那么即矩阵乘积的行列式等
7、于它的因子的行列式的乘积。推论1设是数域P上的n×n矩阵，于是定义1数域P上的n×n矩阵A称为非退化的，如果；推论2否则称为退化的。设A,B是数域P上n×n矩阵，矩阵AB为退化的充分必要条件是A,B中至少有一个是退化的。2、矩阵乘积的秩设A,B分别是数域P上n×m和m×s矩阵，于是定理2即乘积的秩不超过各因子秩。秩(AB)≤min〔秩(A)，秩(B)〕推论3如果那么秩(A)≤秩(Aj)如果矩阵B满足AB＝BA＝E，那么B就称为A的逆矩阵，记为A-1。n级方阵矩阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB＝BA＝E这里E为n级单位矩阵。4、矩阵的逆定义7定义81
8、、矩阵的逆的定义注1）由矩阵乘法法则，只有方阵才有逆
