二重积分的概念和性质ppt课件.ppt

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1、第九章重积分第六节二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素对二重积

2、分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）解解解解思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．

3、不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结练习题练习题答案求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方

4、法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第七节二重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、平面薄片的重心四、平面薄片的转动惯量五、平面薄片对质点的引力六、小结一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为二、曲面的面积卫星１．设曲面的

5、方程为：如图，曲面S的面积元素曲面面积公式为：３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法解四、平面薄片的转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量解解薄片对轴上单位质点的引力为引力常数五、平面薄片对质点的引力解由积分区域的对称性知所求引力为几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结思考题薄片关于轴对称思考题解答练习题练习题答案第五节利用柱面坐标

6、和球面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结一、利用柱面坐标计算三重积分规定：柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．如图，柱面坐标系中的体积元素为解知交线为解所围成的立体如图，所围成立体的投影区域如图，二、利用球面坐标计算三重积分规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标与直角坐标的关系为如图，球面坐标系中的体积元素为如图，解补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．解

7、积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标三、小结思考题练习题练习题答案第六节含参变量的积分一、含参变量积分的连续性二、含参变量的函数的微分三、莱布尼茨公式四、小结一、含参变量积分的连续性是变量在上的一个一元连续函数,设函数是在矩形上的连续函数.在上任意确定的一个值,于是从而积分存在,这个积分的值依赖于取定的值.当的值改变时,一般来说这个积分的值也跟着改变.这个积分确定一个定义在上的的函数,我们把它记作即定理1如果函数在矩形上连续，那么由积

8、分确定的函数在上也连续.证设和是上的两点，则这里变量在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量.由于在闭区域上连续，从而一致连续.因此对于任意取定的,存