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1、§7、么正变换本节讨论同一力学量在不同表象中的表示之间的变换关系.设力学量A的本征函数系为{n(x)},F在A表相中的表示为:设力学量B的本征函数系为{(x)},F在B表相中的表示为:本节要讨论FA与FB之间的关系.为此,首先把B的本征函数(x)用A的本征函数{n(x)}来展开有:(1)7/21/20211写成矩阵形式为:这里的矩阵S就给出了A表象的基矢{n(x)},与B表象的基矢{(x)},之间的变换关系.为找到S矩阵的具体表达形式,在(1)式两边同乘以n(x)并积分得:即有:其共轭表
2、示为:即有:7/21/20212现在来讨论FA与FB之间的关系:由:即:写成矩阵形式为:这里的矩阵S就是表示A表象的基矢{n(x)},与B表象的基矢{(x)},之间的变换关系的变换矩阵.7/21/20213下面来说明:S矩阵给出的变换为么正变换.由A表象的基矢{n(x)},与B表象的基矢{(x)}的正交归一性有:即有:7/21/20214同理有:由厄米算符本征函数的完备性可知:即有:7/21/20215满足该条件的变换被称为么正变换.最后讨论态的变换.所以有:以u(x,t)来表示微观粒子所处的状态,
3、把它分别用A,B算符的本征矢去展开,可得:则有:7/21/20216利用关系式:写成矩阵形式为:么正变换的性质:(1)力学量算符的本征值在么正变换下不变.而B表象中力学量F的表示为:设A表象中力学量F的本征值方程为:7/21/20217则B表象中力学量F的本征值方程为:且有a在B表象中的表示为:(2)在么正变换下F的迹保持不变.F在B表象中的迹为:7/21/20218§8、薛定格绘景与海森堡绘景(SchrödingerpictureandHesenbergpicture)薛定格方程为:其初始条件为:根据薛定格方
4、程可以找到(t).显然与(t)之间是存在着一定的联系的.若以U(t)来表示这种联系,则有:这样初始条件可表示为:当t=0时应有:但t=0时应有:一、时间演化算符:7/21/20219而薛定格方程可写为:当只研究与时间有关的问题时,方程可写为:这里U(t)被称为时间演化算符.可以说明有:证明:由所以(1)7/21/202110且有有当t=0时:所以(1)式是满足初始条件的解.其厄米共轭为:所以有:和:所以U(t)给出的变换为么正变换.7/21/202111二、薛定格绘景与海森堡绘景:1)薛定格绘景:2)海
5、森堡绘景:波函数是随时间变化的,即波函数是时间的函数.但力学量是不随时间变化的,即力学量是与时间无关的.在前面的讨论中,我们总是认为:在这种思想下来描述的微观粒子的运动规律,被称为是量子力学在薛定格绘景下的表述量子力学还可以在另外的绘景下被表述,在这种绘景下认为:波函数是与时间无关的,而力学量算符却是随时间变化的.这种绘景被称为海森堡绘景.3)薛定格绘景与海森堡绘景间的变换关系:A)态之间的变换关系:7/21/202112用S和H分别表示薛定格绘景和海森堡绘景中的波函数.显然应有:而:B)力学量算符之间的变
6、换关系:显然有:因此对哈密顿算符可不作这种绘景的区分.7/21/2021133)海森堡绘景中量子力学公式的形式:A)平均值公式:在薛定格绘景中有:B)基本动力学方程:在海森堡绘景中讨论的是力学量算符随时间的变化规律.注意到FS与时间无关,可得:7/21/202114它与薛定格方程在量子力学中的地位完全相同.§9、狄喇克符号本节讨论量子力学不依赖于具体表象的表述方法———量子力学的狄喇克符号表述法.一、狄喇克符号:定义:右矢(刃矢):左矢(刁矢):7/21/202115定义运算:则有:7/21/202116二、量
7、子力学基本原理在狄喇克符号下的表示:1)本征值方程与本征波函数的表示:本征值方程:或其中:{
8、Fi}或i是力学量F本征波函数的集合.而i则是其本征值的集合.本征波函数的正交性:本征波函数的完备性:或分立谱:连续谱:对任何波函数有:7/21/202117所以有:2)波函数在任意力学量Q表象中的表示:例:波函数在坐标表象中的表示:本征波函数的集合{
9、x>},且x为连续变量.这里10、>为波函数在任意力学量Q表象中的表示.7/21/202118这里11、>就是波函数在坐标表象中
12、的表示.所以有:3)力学量的表示方法:设某力学量F作用到波函数
13、A>上后可得
14、B>,即有:把
15、A>,
16、B>,都在力学量Q的本征函数系中展开得:7/21/202119由力学量的矩阵表示可知:比较可得:就是力学量F在Q表象中表示的矩阵元.7/21/202120§10、线性谐振子的矩阵解法线性谐振子的哈密顿算符:一、产生算符与湮灭算符:显然有:1)定义:湮灭算符产生算符7/21/202121
