力学量用算符表达

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1、第四章力学量用算符表达教学内容第1页§1力学量的平均值§2算符的运算规则§3动量算符和角动量算符§4厄米算符的本征值与本征函数§5共同本征函数§1力学量的平均值微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数Ψ，就确定了微观粒子的运动状态。但Ψ不是可观测得量，何谓确定了微观粒子的运动状态？在微观粒子的某一个运动状态下，它的力学量如坐标、动量，角动量、能量等不同时具有确定的值，具有一系列可能的值，每一可能的值以一定的概率出现。给定运动状态的波函数Ψ后，力学量出现的各种可能值的相应概率就完全确定，利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验观测值

2、比较。第2页原则上，一切力学量的平均值就是在所描写的状态下的相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。1.统计平均值的意义如果通过一系列的实验测定系统的一个状态的参量ξ，得到相应的值为A1,A2,…,As，在总的实验次数N中，则得到这些值的次数分别是N1,N2,…,Ns，则ξ的（算术）平均值为第3页当总的实验次数N→∞时，量ξ的平均值的极限是ξ的统计平均值式中Pi为量ξ出现值Ai的几率。如果变量是连续分布的，则上述统计平均值可以表示成ρ(x)为量ξ出现值Ai的几率密度。2.再论（归一化的）

3、Ψ

4、2和

5、C

6、2的物理意义与波函

7、数相联系的粒子，一般不具有精确的位置，又不具有精确的动量。一般地，对于Ψ表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量，我们不能对测量结果做确定的预言。但是对于N个大量数目，彼此独立的等价系统（每个系统都由同一波函数描述），若我们对他们中的每个做位置测量，则

8、Ψ

9、2给出的就是成员数N趋于无穷大的极限下，N次测量结果的分布。类似地，如果测量的是动量，则

10、C

11、2给出动量的几率分布。第4页(1)坐标表象的力学量平均值。对以波函数ψ(r,t)描写的状态，按照波函数的统计解释，

12、ψ(r,t)

13、2dr表示在t时刻在r→r+dr中找到粒子的几率，因此

14、坐标r的平均值显然是第5页3.在坐标表象中的力学量平均值坐标r的函数f(r)的平均值是其物理意义和我们对

15、Ψ(r,t)

16、2所做的解释一样：它是对N个大量数目的，等价的，彼此独立的且由同一波函数表示的体系做f(r)测量的结果的平均值。（2）动量的平均值p的平均值不能简单地写为第6页在t时刻，在p→p+dp找到粒子的概率为

17、C(p,t)

18、2dp，动量的平均值可以表示为用波函数Ψ直接计算动量平均值的公式记动量算符为：第7页动量平均值为利用数学归纳法不难证明，对于正整数n，有如果是动量的解析函数，且可以展成幂级数：则有上面的结果立即可以推广到三维情形：第8页（3

19、）动能和角动量的平均值动能的平均值：第9页角动量的平均值：动能算符：角动量算符：（4）任一力学量的平均值一般地，微观粒子的任何一个力学量A的平均值总能表示为第10页其中是力学量A相应的算符。如果该力学量A在经典力学中有相对应的力学量，则表示该力学量的算符由经典表达式A(r,p)中将p换成算符而得出，即综上所述，我们可以得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。当我们用坐标表象中的波函数来计算动量平均值，需要引进动量算符，除此之外，能量算符和角动量算符也可依此引进。§2算符的运算规则算符:代表对波函数的某种运算或变换第11页Â把函数u变为v。注意:

20、算符只是一种符号，单独存在是没有意义的。仅当其作用于波函数上，对波函数做相应的运算，才有意义。约定：算符只对右边的波函数作用。定义单位算符（I）和零算符(0)算符例子：算符的一般特性1.线性算符满足如下运算关系的算符Â称为线性算符Â(c1ψ1+c2ψ2)=c1Âψ1+c2Âψ2其中c1,c2为任意复常数,ψ1,ψ2任意两个波函数。第12页例如单位算符Î动量算符均为线性算符开方算符，取复共轭算符均不是线性算符注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。例子粒子状态满足薛定谔方程第13页若ψ1,ψ2是方程的解，则c1ψ1+c2ψ2也是方

21、程的解。事实上仅当是线性算符时才有2.算符的运算规则算符之和算符A与B之和记为A+B,定义为Ψ是任意波函数。第14页例如体系的哈密顿算符，算符求和满足交换律和结合律线形算符之和仍为线形算符。称A与B不对易算符与之积，定义为设算符和对体系的任何波函数Ψ的运算所得结果都相同算符相等则称两个算符相等，记做算符之积且满足但一般不满足交换率这是算符与通常代数运算规则的唯一不同之处。第15页若，则称与不对易。若，则称与对易。第16页对易关系例如，算符，不对易。证明：显然二者不相等，所以ψ是任意波函数同理坐标算符和对应的动量分量算符不对易。量子力学中最基本的对易关系。

22、写出通式：但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。第17页注意：B与