Stolz(施笃兹)定理及其推论.pdf

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1、Stolz定理设y是严格单调增加的正无穷大量,且nxxnn1lima(a可以为有限量,与)nyynn1xn则limanynaa1n重要结论:如limaa,则limannnna2anaa12n例1:设limaa,求lim()nnnn2kkk12n1例2:设k为正整数,求极限lim()k1nnk12222135(2n1)4例3:证明：lim3nn32222135(2n1)4求极限limn3nn3性质设fx()在[,]ab内具有一阶连续导数,则nbb

2、akba()balimnfxdx()fa()[()fafb()}nank1n2Stolz定理应用:设xÎ(0,1),x=x(1-x),(n=1,2,),证明：limnx=11n+1nnnn证明：易知x单调降且趋于零，下用Stolz定理证limnx=1.nnn111-1=xn=xnxn-1=çç1-1÷÷nlimnlimnlimnlimç÷÷nxnn-(n-1)çxxnnn-1因11111x=x(1-x)Þ=Þ=+n+1nnxx(1-x)xx(1-x)n+1nnn+1nn111Þ-+xx(1-x)nn-1n-1ç11÷1因此limç-÷=li

3、m=Þ1limnx=1nççxx÷÷n1-xnnnn-1n-1证明如下结论:¥(i)结定数列{an},证明liman存在的充要条件是å(an-an-1)收敛nn=111(ii)设a=++1+-lnn,证明lima存在nn2nn证明:(i)级数收敛充要条件是该级数的部分和序列{S}收敛nnSn=å(ak-ak-1)=an-a0k=1{Sn}收敛,即{an-a0}收敛的充要条件是liman存在.n111(ii)(a-a)=-lnn+ln(n-1)=+ln(1-)nn-1n=1n=1nn=1nn11--ln(1-)nn1(但此级数不是正项级数,除有限项外都是负的),而lim=与n

4、122n¥11¥1¥11å-çç+ln(1-)÷÷与å有相同敛散性,故å-çç+ln(1-)÷÷收敛.ç÷2ç÷n=1nnn=1nn=1nn¥11故åçç+ln(1-)÷÷收敛,因此由(i)知:liman存在ç÷nn=1nn2(x1)n设x0,x，求limx0n1nx2nn2(a1)解：易知0x2，如x有极限a，则limx2（可从x0,a得）nnn0na2关键在：证x有极限。n2(x1)22(xn2)nx22x2n1n1x2x2nnx222n1,(x2)0x2x2nnx22222n11x

5、2x22nnnx2x2x22212n...0x2x2x2201n1limx2nn当x2x2limx20nnn因此x0,limx20nn