Stolz定理数列形式的一个逆命题及其推广.pdf

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1、第26卷第4期重庆工商大学学报(自然科学版)2009年8月V01．26NO．4JChongqingTeehnolBusinessUniv．(NatSciEd)Aug．2009文章编号：1672—058X(2009)04—0322—05Stolz定理数列形式的一个逆命题及其推广庹亚林(重庆师范大学数学与计算机科学学院，重庆401331)摘要：st0lz定理是数学分析中解决音型和詈型极限的一个重要工具．、出了其逆命题成立的一个充要条件，并将其推广到函数形式，解决了一些问题，所得到的结论是对Stolz定理的进一步推广关键词：Stolz定理；数列形式；逆命题；充要条件；函数形式

2、中图分类号：O174．5文献标志码：ASt。lz定理是数学分析中极限理论的重要内容，是解决吾型和型极限的一个重要工具，它使得许多常见的经典之例得到巧解和扩充]．近年来，许多学者对Stolz定理进行了不同方面的推广．文献[1]给出了Stolz定理各种形式的推广，列举了一些典型的例题．文献[2]将Stolz定理推广到函数形式，：给出了证明．文献[6]用另一种方法证明了函数形式的Stolz定理，并给出了一些类似定理．文献[7]中引斥’文献[2]将其推广到Toeplitz定理，作者在此基础上将Stolz定理和Toeplitz定理进行了推广，得到一系列重要的结论．文献[8]中，作

3、者指出了Stolz定理和L’Hospital法则之间的联系，并给出了相互的推导．文献[9]口，作者在差分方向上做了推广．此处指出了Stolz定理逆命题成立的一个充要条件，并给出了证明，同时得副-fi-型的类似情况．定理1[1叫(Stolz定理)若／glimY=+∞，且Y从某一项开始严格单调增加，如果lim__三=z(z为--I"+∞n—+∞V一V，有限数，+∞或一∞)，则lim=Z．_++YStolz定理的逆命题不一定正确，例如=(一1)，)，=n时，lim=0，lin=，H+∞Vn_+∞V—V，(一1)“一(一1)={一2，2，一2，2，⋯}极限不存在，下面探讨在何种

4、情况下，其逆命题成立．定理2limY=+。。，且Y从某一项开始严格单调增加．(1)lim—：A(A为有限数)，若lim9gn：z(1为有限数，+∞，或一∞)，则lim：z；-++∞n—yn一1∞二y∞n—n一1(2)lim—：A(A为有限数)，若lim：l(1为有限数，+oo，或一∞)，则lim：z．∞n一一1H∞Y_+∞n‘。Yn一1^一J^一I证明(1)当z为有限数时，由于lira-il,rt=z甘V>0，N1>o，当n>Nl时，有}一zI<，Y-N为lira—∞nIYnI’田Y=+∞，且Y从某一项开始严格单调增加，故Ⅳ2>N，当n>Ⅳ2时，Y一Y>0，所以-I

5、yl，收稿日期：2009—04—17；修回日期：2009—05—10．作者简介：庹亚林(1987一)，男，重庆市酉阳人，在读本科学生，从事数学分析研究第4期庹亚林：Stolz定理数列形式的一个逆命题及其推广323IlyI0，n>Ⅳ3‘时，有l『Yn—Y若n一】一AI<，取占，有IY—Yn—1l一-A-≤l歹=_兰：=_=一f<，所以<·A一十．从而f三号{一zI<<2占c+-A·，即lim：1．+yn—yn一1(2)当l为+∞

6、时，因为lim=+∞，故当n充分大时，>Y>0，lim=+。o，而在某项后严格”+∞yn—}+∞单增，所以lim：0，又有lim—L：A．由式(1)知，lim：0，所以lim：+∞．(3)当l为一a。时，因为lim：一o。，所以lim一：+∞，又lim—：A．由式(2)知lim一-二：+∞故lim墨：一∞．，注：①定理2中条件lim—：及lim—：A可以改写成{-—l有上界(n+∞)和f—l有上界(．++∞)．作进一步思考此条件是否还可减弱；②定理2是一个充要条件，其必要性由Stolz定理立即可得③条件{-—．}有上界(n+∞)限制了一些数列无法满足定理2．例1求lij

7、(其中后为常数)．解令y=e，=凡，则有lim=，七，又由lim．Y=+∞，且y严格单调增加，而级数收敛(由达朗贝尔判别法)，由级数收敛的必要条件知=o·由定理2知羚o·例2已知=+∞，~~lim．一+∞解令Y=n!，=e，因为liY=+∞，且Y严格单调增加，则lim=，由定理2知lim一二：+∞．例3已知li：0求li(其中为常数)．n_++∞n+∞凡一ln一1J解令Y=，：(n!)，因为limY=+∞，且y严格单调增加，于是：lim一上1“_+∞Yn—Yn一1～。一324重庆工商大学学报(自然科学版)第26卷：lim士：1一_1一一1