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1、--..--必修二立体几何经典证明试题1.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.CBADC1A11.【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥,BC⊥AC，,∴面,又∵面，∴,由题设知,∴=,即,又∵,∴⊥面,∵面，∴面⊥面；（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==，由三棱柱的体积=1，∴=1:1，∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.如图5所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且
2、，为△中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.【解析】（1）证明：因为平面，所以。因为为△中边上的高，所以。因为，所以平面。word可编辑.--..--（2）连结，取中点，连结。因为是的中点，所以。因为平面所以平面。则，。（3）证明：取中点，连结，。因为是的中点，所以。因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。因为，所以。因为平面，所以。因为，所以平面，所以平面。3.如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面．【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴
3、平面。又∵平面，∴。又∵平面，∴平面。又∵平面，∴平面平面。（2）∵，为的中点，∴。又∵平面，且平面，∴。word可编辑.--..--又∵平面，，∴平面。由（1）知，平面，∴∥。又∵平面平面，∴直线平面4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P—ABCD的体积．如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F1分又E是PC的中点
4、，所以，EF∥AP2分∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD（3）取AD中点为O，连接PO，因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P—ABCD的体积5.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，word可编辑.--..--平面，，、、
5、分别为、、的中点，且.（I）求证：平面平面；（II）求三棱锥与四棱锥的体积之比.【解析】（I）证明：由已知MA平面ABCD，PD ∥MA，所以PD∈平面ABCD又BC∈平面ABCD，因为四边形ABCD为正方形，所以PD⊥BC又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC在△PBC中，因为G平分为PC的中点，所以GF∥BC因此GF⊥平面PDC又GF∈平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.（Ⅱ）解：因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2，ABCD所以Vp-ABCD=1/3S正方形ABCD，PD=8/3由于DA
6、⊥面MAB的距离所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3，所以Vp-MAB：Ｖp-ABCD=1:4。6.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;word可编辑.--..--证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,E
7、F=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；word可编辑.--..--8.如图，在直
8、三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面平面.9.如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图
