量子力学 刘劲松 6讲.ppt

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1、量子力学光电子科学与工程学院刘劲松第六讲算符的运算规则厄密算符1第6讲目录一、算符引入的回顾二、力学量在坐标表象下算符的形式三、算符的运算规则四、算符的对易关系五、厄密算符例题2一、算符引入的回顾为了在坐标表象中计算动量的平均值引入了动量算符从而，动量平均值可以表示为3二、力学量在坐标表象下算符的形式动能，动能算符动能平均值角动量，角动量算符角动量平均值4三、算符的运算规则（1）1、线性算符则称为线性算符，如2、单位算符则称为单位算符，并记为。5三、算符的运算规则（2）3、算符相等4、算符之和5、交换律和结合律6三、算符的运算规则（3）6、算符之积一般说来，算符之积不满足交换律，即由此导致量子

2、力学中的一个基本问题：对易关系7四、算符的对易关系（1）1、对易式通常情况下，2、坐标动量对易关系——最基的本对易关系8四、算符的对易关系（2）同理，但是，归纳起来，得到，9四、算符的对易关系（3）3、角动量的对易式（1）10四、算符的对易关系（4）3、角动量的对易式（2）11四、算符的对易关系（5）3、角动量的对易式（3）不难验证（用x,y,z的右手螺旋关系来记忆）12四、算符的对易关系（6）3、角动量的对易式（4）13四、算符的对易关系（7）4、对易恒等式14五、厄密算符（1）1、逆算符已知，若存在唯一的，使得则可将表示为，其中15五、厄密算符（2）2、转置算符动量算符束缚态条件16五、厄

3、密算符（3）3、共轭算符4、厄密共轭算符17五、厄密算符（4）5、厄密算符18五、厄密算符（5）6、厄密算符的平均值(1)定理：厄密算符的平均值为实数。证：19五、厄密算符（6）6、厄密算符的平均值(2)推论：厄密算符平方的平均值大于等于零20例1：设势场为证明阱口刚好出现一个束缚态能级（即）的条件为其中，证明：当时，能量本征值方程为解得当时，能量本征值方程为由束缚态条件解得21当时，能量本征值方程为由束缚态条件解得因为阱口刚好出现一个束缚态，即所以时时根据，在和连续，可知势阱刚好出现束缚态的条件为22简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可

4、以表示为一维谐振子的能量本征方程23