量子力学 第4章.ppt

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1、第4章力学量随时间的演化§4.1力学量随时间的演化§4.2波包的运动§4.4守恒量与对称性§4.5全同粒子体系§4.1力学量随时间的演化4.1.1守恒量经典力学：守恒力学量不随时间而改变.量子力学:每一时刻,不是所有力学量都有确定值,一般只有确定的概率分布与平均值.本节讨论力学量随时间的演化问题和守恒力学量的问题.若体系的状态波函数是一、力学量平均值随时间的变化由薛定谔方程：最后得到当力学量不显含时间时，这就是力学量平均值随时间的变化二、守恒量守恒力学量的定义若一个力学量的平均值不随时间变化,则该力学量是一个守恒力学量.换句话说若则A是守恒力学量.2.推论:若A

2、不显含t，而且[A，H]=0则A是守恒力学量。即:这种力学量在任何态下的平均值不随时间改变。这样的定义与经典力学相吻合,因为宏观量可以看作是微观量的平均值.可以证明守恒力学量测量值的概率分布也不随时间改娈.关于量子体系的守恒量的几点说明量子体系的守恒量不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系将保持在这个本征态；若初始时刻体系并不处在守恒量A的本征态，以后的状态也不是A的本征态。量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。与定态区分：定态：体系的一种特殊的状态－能量本征态。在定态下，一切力学量（不显含

3、t）的平均值和测量概率分布都不随时间改变。守恒量：体系的一种特殊的力学量，与哈密顿量对易。在一切状态下的平均值和概率分布都不随时间改变。3.守恒量的例子（1）自由粒子的动量p（2）粒子在中心力场中运动的角动量粒子在中心力场中运动时，动量并不守恒。不含时间t,且都与H对易,所以动量是守恒力学量.自由粒子的哈密顿量：不含时间t,且都与H对易,所以角动量是守恒力学量.(3)能量守恒5.宇称相应本征函数：宇称算符连续作用两次波函数保持不变一般的态不一定具有确定的宇称，任意态是奇宇称和偶宇称态的迭加态。（完备性）宇称守恒§4.3力学量期望值的运动方程当Ĥ与时间无关时，可以

4、得到由薛定谔方程：其中1.波函数随时间的变化称为演化算符Û与Ĥ对易，Û的时间变化率为是么正变换：演化算符的性质力学量A(r,p)在状态(r,t)下的平均值力学量A(r,p)的平均值随时间的演化：2.力学量平均值随时间的变化(3)3.海森伯运动方程(12)(1)一般地说，对（12）式取平均，不等于（3）式。可以证明（见张永德书p36§2.3(2.11b)式）：只有当算符(12)不显含时间时，才有即动量表象量子化在经典力学中，坐标与动量是一对共轭量，是平权的，因此保持动量不变可得到坐标的算符形式。因此在动量表象下，计算坐标的平均值，可以得到坐标算符：类似的推导，可

5、以得到角动量算符：量子化一维保持对易关系不变（一）引言（二）F-H定理（三）实例P95习题(4.7)Feynman-Hellmann定理及应用关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数Hellmann-Feynman定理（简称H-F定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。（1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算；（2）利用H-F定理可以很巧妙地推出维里定理。（一）引言设体系的Hamilton量H中含有某参量λ，En是H的本征值，n是

6、归一的束缚态本征函数（n为一组量子数），则（二）H-F定理证据题设，ψn满足本征值方程：对λ求导数得：显然En和ψn与参数λ有关。两边积分方程左边第一项所以方程左边=0证毕H-F定理很有实用价值，H中的质量μ,常数等都可以选为参数λ。（1）证明一维谐振子=。证一维谐振子Hamilton量：方法I：取质量μ作为参数λ由HF定理简记为（三）实例方法II令λ=ω方法III取λ=由HF定理由HF定理作业：已知由H-F定理计算一维谐振子势能的平均值和动能的平均值。（3）证明维里定理即证I.在坐标表象由HF定理II.在动量表象由HF定理将

7、视为参数取平均与表象无关当势能是齐次函数时，即两边对求导，再令=1,左边右边对求导，再令=1左边=右边又因为所以，当势能是k次齐次函数时，有由此得到此即位力定理体系的波函数交换算符交换算符的本征方程所以反对称对称§4.5全同粒子体系与波函数的交换对称性因为交换算符是守恒量所以交换对称的粒子，称为玻色子，遵从玻色-爱因斯坦统计规律，自旋为整数。交换反对称的粒子，称为费米子，遵从费米-狄拉克统计规律，自旋为半整数。无相互作用二粒子体系由两个粒子的单粒子波函数可以组成总波函数。单粒子满足方程费米子交换反对称，总波函数为写成行列式形式对N个全同费米子体系交换

8、反对称，总波函数为N个全