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1、第7章拉普拉斯变换7.1拉普拉斯变换7.2拉普拉斯变换的基本性质7.3拉普拉斯逆变换7.4拉普拉斯变换的应用在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为7.1拉普拉斯变换7.1.1拉普拉斯变换的概念定义1设函数当有定义,而且积分是一个复参量）我们称上式为函数的拉普拉斯变换式,记做ℒ叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,=ℒ的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数7.1.2拉普拉斯变换存在定理若函数满足下列条件Ⅰ在的任一有限区间上连续或分段连续,时,Ⅱ当时,及,使得成立,则函数的拉氏变换在半平面上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.
2、并且在此半平面内为解析函数7.1.3一些常用函数的拉普拉斯变换例2求单位阶跃函数的拉氏变换解ℒ例1求单位脉冲函数的拉氏变换解ℒ例3求函数的拉氏变换解ℒ例4求单位斜坡函数的拉氏变换解ℒ例5求幂函数的拉氏变换解ℒ当为正整数时,ℒ例6求正弦函数的拉氏变换ℒ解则所以ℒ即同理可得如ℒℒ是周期为当在一个周期上连续或分段连续时,则有7.1.4周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式的周期函数,即可以证明:若ℒ7.2拉普拉斯变换的性质7.2.1线性性质设为常数则ℒℒℒℒ7.2.2相似性质若=ℒ则ℒℒ7.2.3平移性质 （1）象原函数的平移性质为非负实常数,则ℒℒℒ例7求函
3、数的拉氏变换解因为ℒ所以ℒ若（2）象函数的平移性质为实常数,则ℒℒ若(为正整数).例8求解因为ℒℒℒℒ所以ℒℒ则7.2.4微分性质 （1）象原函数的微分性质一般地,ℒℒ若ℒ特别地,当时,ℒ可以证明ℒ（2）象函数的微分性质若则ℒ从而ℒℒℒℒ例9求函数解因为同理,ℒℒℒ所以,ℒ7.2.5积分性质若ℒ则ℒℒ（1）象原函数的积分性质一般地ℒ且积分收敛若ℒ则ℒℒ（2）象函数的积分性质一般地ℒ或推论若则ℒ且积分收敛例10求ℒ解因为ℒ所以ℒℒ顺便可得7.2.7拉氏变换的卷积与卷积定理(1)上的卷积定义若函数满足,时都为零,称为函数在上的卷积.则可以证明卷积例11对函数计算上的卷
4、积解(2)拉氏变换的卷积定理若则ℒℒℒℒ例12已知为正整数)求在上的卷积解因为ℒℒℒ所以ℒ7.3拉普拉斯逆变换求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.我们简单介绍留数法和查表法.根据拉普拉斯变换的定义右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.2.3.1利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换一些常用函数的拉氏变换拉氏逆变换的性质ℒℒℒℒℒℒℒℒ例13已知求解所以例14已知求解所以ℒℒ例15已知求解所以例16已知求解所以2.3.2利用留数定理求拉氏逆变换7.4拉普拉斯变换的应用7.4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法
5、利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.例17求微分方程满足初始条件的解解设ℒ对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得解得所以2.4.2线性系统的传递函数
