第6章__拉普拉斯变换.ppt

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1、第六章拉普拉斯变换6.0引言回顾：如何引入傅里叶变换——1.很多信号可以用周期复指数信号的线性组合来表示。2.复指数信号是LTI系统的特征函数复指数信号：时——傅立叶变换推广为任意s值——拉普拉斯变换除具有傅氏变化的优点外，还能应用于不稳定系统的分析缺点：物理意义不如傅立叶变换清晰6.1拉普拉斯变换6.1.1定义已知：LTI系统对的响应为：其中对任意信号x(t)，拉普拉斯变换（L）定义为：s为复数：当实部为0，为傅立叶变换另有：即：例1：，为实数，求其傅立叶变换和拉氏变换解：—拉普拉斯变换的收敛域只有时，才能令而求得X

2、(jw)例2：求拉氏变换解：可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于收敛域不同。收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平面）。注意：求拉氏变换，必须同时给出收敛域。例3求X(s)解：Re{s}>-2Re{s}>-1Re{s}>-16.1.2零极点图上述各X（s）称为有理的，只要x(t)是实指数或复指数的线性组合，X（s）就一定是有理的对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子多项式的根——零点分母多项式的根——极点除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯

3、变换的S平面表示。若分母的阶次高于分子的阶次k次，则X(s)在无限远处有k阶零点。若分子的阶次高于分母的阶次k次，则X(s)在无限远处有k阶极点。例4？X(s)s为任意值Re{s}>-1Re{s}>2Re{s}>2因为ROC不包括jw的轴（即Re{s}=0）所以x(t)无傅立叶变化6.2拉普拉斯变换收敛域极点和ROC的关系；极点、ROC与信号时域性质的关系性质1：X(S)的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。由狄里赫利条件（绝对可积+2.3条件），要求，仅与s的实部有关有物理意义的常用信号/系统满足条件2.3

4、，所以绝对可积F收敛性质2：对有理拉普拉斯变换，ROC内不包含极点。（极点处X(s)无限大，不收敛）性质3：如果x(t)是有限持续期，且绝对可积，那么ROC为整个S平面。证明：拉氏变换收敛绝对可积，欲证对所有S，有(1)当上式化为在ROC内（2）当（3）当对所有s，成立即ROC为整个S平面性质4：如果x(t)是右边信号，且如果Re{s}=位于ROC内，那么Re{s}>的全部s值都一定在ROC内。右边信号：指时，x(t)=0证明：因为x(t)的拉氏变换对收敛，x(t)是右边信号，对于,有即右边信号对应右半平面的ROC性质

5、5：如果x(t)是左边信号，且若位于ROC内，则的全部S值都位于ROC内。左边信号：时x(t)=0，对应左半平面的ROC性质6：如果x(t)是双边信号，且若位于ROC内，则ROC一定是S平面上包括的一条带状区域。双边信号：对时间轴左、右都是无限范围的例求X（s）解：Re{s}>-bRe{s}0时有公共收敛域：-b

6、远。且ROC内不包含X(s)的任何极点。性质8：若x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，对右边信号，则其ROC位于最右边极点的右边；对于左边信号，则其ROC在S平面上最左边极点的左边。6.3拉普拉斯反变换定义式：对于一般的X（s），上述积分的求值要利用复平面的围线积分--不做讨论重点掌握：有理变换，利用部分分式展开法例：求x(t)?解：展开为对右半平面的ROC存在傅立叶变换对左半平面的ROC无傅立叶变换c.对带状的ROC6.4拉普拉斯变换的性质1、线性ROC为ROC为ROC包括（1）若为空，则X(s)无收敛域，x(t)不

7、存在拉普拉斯变换。如前节例b<0时（2）X(s)的ROC可能比大例：已知Re{s}>-1，Re{s}>-1求X（s）?解：ROC为：Re{s}>-2为：Re{s}>-1，但仅在s=-2有极点，所以ROC向左延伸至s=-2原因：s=-1处零、极点抵消确定的ROC方法：（1）求（2）将其向左、或右延伸，直至最近的极点2、时移若ROC=R则ROC=R3、S域平移ROC=RROC如上表示是一种符号（边界变化）若X(s)有极点或零点在s=a，那么一定有极点或零点在，即4、时域尺度变换（a为实）ROC=RROC=aRROC=aR表

8、示“边界的变化”a为负值时，ROC要增加关于jw轴的反转。特例：ROC=-R5、共轭ROC=RROC=R推论：若x(t)为实函数，有X(s)=X*(s*)因此若X(s)有零极点位于必有一共轭的零极点位于6、卷积性质ROC=R1ROC=R2ROC包括7、时域微分ROC=RROC包括R，s=0处的零极点有变化8、S域微分ROC=RRO