第6章 拉普拉斯变换.ppt

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1、第2篇自动控制原理制作:贺力克第6章拉普拉斯变换第7章自动控制系统的数学模型第8章自动控制系统的性能分析第9章改善自动控制系统性能的途径第6章拉普拉斯变换第6章拉普拉斯变换6.1拉氏变换的概念6.2拉氏变换的主要运算定理6.3拉氏反变换及应用举例第6章拉普拉斯变换6.1拉氏变换的概念若将实变量t的函数f(t)，乘以指数函数e-st（其中s=σ+jω，是一个复变数），再在t从0到∞区间对t进行积分，就得到一个新的函数F(s)。F(s)称为f(t)的拉氏变换式，并可用符号L［f(t)］表示。上式称为拉氏变换的定义式，条件是式中等号的积分存在（收敛）.(6

2、-1)第6章拉普拉斯变换拉氏变换是一种单值变换。f(t)和F(s)之间具有一一对应的关系。通常称f(t)为原函数，F(s)为象函数。第6章拉普拉斯变换表6-1常用函数的拉氏变换对照表第6章拉普拉斯变换第6章拉普拉斯变换【例1】求单位阶跃函数（UnitStepFunction）1(t)的象函数。解：在自动控制系统中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当于一个开关的闭合（或断开），单位阶跃函数的定义式为第6章拉普拉斯变换图单位阶跃函数第6章拉普拉斯变换由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为单位阶跃函数如图所示。第6章拉普拉斯变换【例2】求斜坡函数（Ramp

3、Function）的象函数。斜坡函数的定义式为式中，K为常数。第6章拉普拉斯变换解：在自动控制系统中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。在研究跟随系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，根据拉氏变换的定义式有这里应用了积分学中的分部积分法，即。若上式中K=1，则单位斜坡函数的象函数为第6章拉普拉斯变换【例3】求指数函数（ExponentialFunction）e-αt的象函数。解由式(6-1)，有第6章拉普拉斯变换6.2拉氏变换的主要运算定理在应用拉氏变换时，常需要借助于拉氏变换运算定理，这些运算定理都可以通过拉氏变换定义式加以证明。下面介

4、绍几个常用定理。1)叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即(6-2)第6章拉普拉斯变换证第6章拉普拉斯变换2)微分定理在零初始条件下，即f(0)=fˊ(0)=…=f(n)(0)=0L［fn(t)］=snF(s)(6-3)在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的拉氏式等于其象函数乘以sn。第6章拉普拉斯变换证第6章拉普拉斯变换当初始条件f(0)=0时，有L［f′(t)］=sF(s)同理，可求得L［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0)…L［f(n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f

5、(n-1)(0)第6章拉普拉斯变换若具有零初始条件，即f(0)=f′(0)=…=f(n-1)(0)=0则L［f″(t)］=s2F(s)…L［f(n)(t)］=snF(s)第6章拉普拉斯变换3)积分定理在零初始条件下,(6-4)在零初始条件下,原函数的n重积分的拉氏式等于其象函数除以sn。第6章拉普拉斯变换4)终值定理(6-5)原函数t→∞在时的数值（稳态值），可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求ｓ→０的极限值来求得。证：由微分定理有对上式两边取极限第6章拉普拉斯变换由于当s→0时，e-st→1，所以上式左边可写成将上两式比较，两边

6、消去f(0)，得第6章拉普拉斯变换表6-2拉氏变换的主要运算定理第6章拉普拉斯变换6.3拉氏反变换及应用举例由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换（InverseLaplaceTransform）。拉氏反变换常用下式表示:f(t)=L-1［F(s)］拉氏变换和拉氏反变换是一一对应的，所以，通常可以通过查表来求取原函数。第6章拉普拉斯变换【例1】求典型一阶系统的单位阶跃响应。　　设典型一阶系统的微分方程为：式中，　为输入信号；　为输出信号；T称为时间常数，其初始条件为零。第6章拉普拉斯变换【解】1）对微分方程两边进行拉氏变换有:

7、由题意可知，系统的输入信号为单位阶跃信号，　　即，则，代入上式有:2)将上式分解为部分分式由上式有：及第6章拉普拉斯变换4)对上式进行拉氏反变换，由表可查得对应项的原函数，于是有：3)用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入上式有：（6-8）它表示一根按指数规律上升的曲线。第6章拉普拉斯变换5)由式(6-8)所表达的阶跃响应曲线如图6-1所示。图6-1典型一阶系统的单位阶跃响应曲线第6章拉普拉斯变换6)对求解的结果进行分析：①响应曲线起点的斜率m为：由上式可知，响应曲线在起点的斜率m为时间常数T的倒数，T愈大，m愈小，上升过程愈慢。②过渡过程时间

8、。由图6-1可见，在t经历T、2T、3T、4T和5T的时间后，其响应的输出分别为稳态值的63.2%、86.5