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1、三角形内角和定理的证明武汉市人民中学李治华我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个结论的探索过程吗?112ABD23C(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果?(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.已知:如图6-9,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=1800.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.∠1=∠A(
2、两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=1800(等量代换).分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D在证明三角形内角和定理时,把三个角“凑”到A处,过点A作直线PQ∥BC(如图),你认为这个想法可以吗?小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQ∥BC,则ABC∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等)
3、,又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代换).所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.PQ231ABC证明：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)E已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°ABCPQR证明：过点P作PQ∥AC交AB于Q点，作PR∥AB交AC于R点。∴四边形AQPR是平行四边形（平行四边形的定义）∴∠QPR=∠A（平行四边形的对角相等）∠RPC=∠B（两直线平行，同位
4、角相等）∠QPB=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠QPB+∠QPR+∠RPC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°试试其他方法来证明三角形内角和定理吗？添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM（ABCEDF（（1234（图5）AE）12BCD图6…………证明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理）∠C=90°（已知）∴∠A+∠B+90°=180°（等量代换）∴∠A+∠B=180°－90°=90°（等式性
5、质）即∠A+∠B=90°ABC已知：在△ABC中，∠C＝90゜求证：∠A＋∠B＝90゜随堂练习1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.求证：∠ADE=500..随堂练习DCBAEABCABC结论:直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用.用运动变化的观点理解和认识数学在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时,∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来
6、越远离BC时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近1800,当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你能想到什么?读一读CBACBA证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=700（已知）∴∠AED=700（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=1800（三角形的内角和定理）∠A=600（已知）∴∠ADE=1800-600-700=500（等量代换）即∠ADE=500DCBAE已知：如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.求证：∠ADE=500随堂练习
7、3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于点.则∠B、∠D、∠P之间是否存在一定的大小关系？随堂练习ABCPDE它们关系是怎样的？并加以证明.三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形。（）2一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（）3一个等腰三角形一定是锐角三角形。（）4一个三角形最少有一个角不大于。（）动脑筋：×√√√我们证明了三角形内角和定理。证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形
