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《【湘教版】七年级数学下册：第3章《因式分解》复习教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、因式分解一.因式分解的概念例1下列各式从左边到右边的变形中,是因式分解的为( )A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）分析:要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项A属于整式乘法；B只是分解了局部,没有整体化成整式的积的形式；而D左右两边不相等,不属于恒等变形,因而也不属于分解因式.解:选C.二.因式分解的方法例2因式分解:2(a-3)2-a+3=.分析:注意到-a+3提出负号后可变成（a-3）,所以考虑将负号提出
2、,添括号后提取公因式（a-3）.解:2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).注意:注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.例3因式分解:4m2+9(m+n)2+12m(m+n).分析:可将(m+n)看做一个整体,利用完全平方公式分解.解:4m2+9(m+n)2+12m(m+n)=(2m)2+2×2m×3(m+n)+[3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2=(5m+3n)2.注意:当所要分解的多项式符合公式的“项数”时,注意灵活进行整体运用.例
3、4因式分解:a2(2x-3)+9(3-2x).分析:先提取(2x-3),然后用平方差公式分解,注意后一项的符号变化.解:a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).三.因式分解相关的计算例5已知x=a+b,y=a-b,用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.分析:将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后,每个括号内合并,然后观察与x,y的关系,再将x=a+b,y=a-b代入求解.解:(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2
4、+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x2·2y2=4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2=4a4-8a2b2+4b4.例6计算.分析:若直接计算,则分母中的计算量很大,考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.解:==.四.因式分解相关的说明例7已知a2+b2=1,x2+y2=1.试说明:(ax+by)2+(bx-ay)2=1.分析:将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示,故考虑将左边因式分解.(ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a
5、2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).因为a2+b2=1,x2+y2=1,所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.注意:此题采用“欲进先退”的策略,即要进行分解因式,先进行整式的乘法,待到式子化简后,再分解因式进行说明.五.因式分解的实际应用例8已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88cm,它们的面积相差836cm2,求这两个正方形的边长.分析:设大正方形的边长为xcm,小正方形的边长为ycm,则根据它们的周长相差88cm,可得4(x
6、-y)=88.又因为它们的面积相差836cm2,所以x2-y2=836,根据这两个方程可求出x,y的值,但是两个方程的数值较大,计算复杂,因此可以考虑将x2-y2=836用因式分解法变形,求解.解:设大正方形的边长为xcm,小正方形的边长为ycm,根据题意得方程组等价于将③代入④,得x+y=38⑤.③和⑤组成方程组得解得x=30,y=8.所以大正方形的边长是30cm,小正方形的边长是8cm.误区点拨误区一因式对分解的概念理解不透彻例1下列从左到右的变形是分解因式的是()A.B.C.D.=错解:选B.C.D.错因分析:B
7、中只是将部分写成积的形式,不符合因式分解的概念,C中是整式的乘法,和因式分解正好互为逆运算；D中的a-1实质上是,不是整式,而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式,所以不正确.正解:选A.误区二多项式分解不彻底例2因式分解a4-2a2+1.错解:a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2.错因分析:括号内的a2-1还可以利用平方差分解,然后利用积的平方写成(a+1)2(a-1)2.正解:a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2.误区三利用公式出现偏差例3因式分
8、解(x+y)2-4xy.错解:(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).错因分析:4xy不是一个整式的平方的形式,不能直接利用平方差公式分解.正解:(x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.误区四提公因式漏项例4分解因式3a2bc3-12abc2+3abc.错解:3a2b
