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《圆的几何特征在初中解题中的运用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、圆的几何特征在初中解题中的运用著名的数学家波利亚曾说过，“当原问题看起来不可解时，人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题”，短短数语，导出了数学解题的关键所在。这种迂回解题思想■数形结合，更是屡见不鲜，现举例说明如何巧用圆的几何性质解题。例1如图，AABC中，ZCAB是ZABC的2倍，是否存在三边长恰是三个连续正整数？证明你的结论。分析该题如果用止弦定理和余弦定理求解，出现2倍角，对初中生来说还不会用。若注意到同圆里相等的圆周角所对的弧相等的性质，问题就迎刃而解了。证明作AABC的外接岡，作ZCAB的平分线交BC于点G,交圆于点F,过点C,F作A
2、B的垂线，垂足分别是D,E,连接CF,BF,设AC=m—1,AB=m,BC=m+1。由于ZCAF=ZFAB=ZABC,・•・弧长AC二弧长CF二弧长BF,即AC=CF=BF・又ZCFA=ZABC=ZFAB,・•・CF〃AB,・・・四边形ABFC是等腰梯形.・•・AD=BE=AB-CF/2=m-(m-l)/2=l/2在RtACDA中，CD2=AC2-AD2=(m-1)2-(1/2)2在RtACDB中，BC?=CD2+DB2,即(m+1)$=(m-1)2-(l/2)2+(m-l/2)2解之，得m=5或m=0（舍），・・m1=4,m+1=6,・•・存在三边长恰是三个连续正整数.缪2如图，在锐角
3、三角形ABC中，CD是AB边上的高，求证：tanA•tanB>1。分析如果设未知数，建立方程直接求解较繁，不妨用线段的转换、比较给予证明。证明以AB为直径作圆，交CD于点E,连接AE,BEo要使tanA•tanB>1,如图，由于tanA•tanB=CD/AD•CD/BD=CD2/AD•BD,只需CD2/AD•BD>1,即CD2>AD•DB。根据相交弦定理的推论有ED?=AD-DBo又CD>ED,・•・CD2>AD•DB,即tanA•tanB>1.例3已知+=求证：a2+b2=k2分析如果把条件通过平方，配方可证，但计算量大；如果用三角换元法，初中牛还未学；若注意到a2+b2=k2的特征，
4、会联想到勾股定理，从而试在圆里构造直角三角形.证明如图，以a,Vk2-/r,k为三边作RtAABD,以b,4k1-a1,k为三边作RtABCD,有公共斜边BD,构成四边形ABCD,从而ABCD共圆，直径BD=k7丘-由托勒玫定理，有a7k2-/72+b^2-«2=AC*BD,再比较已知,从而AC=k.・•・AC为直径，・ZABC=90°,Aa2+b2=k2.从上述各例中,的性质多而灵活，若能熟练应用，可获得意想不到的效果。
