高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式习题(理科)新人教A版.docx

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1、第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.tan(α±β)＝1?tantanα±tanβαtanβ.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cosα－sin22α＝2cosα－1＝1－2sinα.22tan2α＝1－tan2α.2tanα3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为22φ)其中tanφ＝a或f(α)＝ba＋b·cos(α－φ)22其中tanf(

2、α)＝aφ＝b.a＋bsin(α＋[微点提醒]1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).2.cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±4.π基础自测最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(

3、包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()tanα＋tanβ(2)公式tan(α＋β)＝1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()(3)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()解析(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠答案(1)√(2)√(3)×(4)√π2＋

4、kπ(k∈Z).2.(必修4P127T2改编)若cosα＝－4π，α是第三象限的角，则sinα＋54等于()227272A.－10B.10C.－解析∵α是第三象限的角，10D.1023∴sinα＝－1－cosα＝－5，π3242724∴sinα＋＝－×5答案C2＋－5×2＝－10.3.(必修4P146A4(2)改编)tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝.解析∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°，1－tan20°tan40°∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°

5、)＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.答案34.(2018·全国Ⅲ卷)若sinα＝1，则cos2α＝()38778A.9B.9C.－9D.－9解析因为sinα＝123，cos2α＝1－2sinα，2127所以cos2α＝1－2×3＝1－9＝9.答案B5.(2019·南昌一模)已知角α的终边经过点P(sin47°，cos47°)，则sin(α－13°)＝()1313A.2B.2C.－2D.－2解析由三角函数定义，sinα＝cos47°，cosα＝sin47°，则sin(α－13°)＝sinα

6、cos13°－cosαsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°1＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝2.答案A5π16.(2018·全国Ⅱ卷)已知tanα－4＝5，则tanα＝.5π5πtanα－tan4tanα－11解析tanα－3解得tanα＝2.3答案24＝1＋tanαtan5π＝1＋tanα＝5，4考点一三角函数式的化简【例1】(1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝.（1＋sinα＋cosα）·cosα－sinα(2)化简：22＋2cosα2(0<α<π)＝.解析(1)si

7、n(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).（2cos2α＋2sinαcosα）·（cosα－sinα）(2)原式＝222224cos2α2cosα（cos2α－sin2α）cosαcosα22＝cosα222＝.cosα2因为0<α<π，所以α<π，所以cosα>0，所以原式＝cosα.0<222答案(1)sin(α＋γ)(2)cosα规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合

8、理的拆分，正确使用公式；