微积分经管类1-2.ppt

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1、了解数列极限的几何意义掌握收敛数列的性质理解数列极限的概念学习重点第四节数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入S如何求圆的面积S刘徽中国魏晋间杰出的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。幼年曾学习过《九章算术》，成年后又继纵深入研究。在魏景元四年(263)注《九章算术》，并撰《重差》作为《九章算术》注第十卷。唐初以后，《重差》以《海岛算经》为名单行。刘徽全面论述了《九章算术》所载的方法和公式，指出并且纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上做出了杰出的贡献。思路就是从

2、求圆内接正n边形的面积入手，n越大,正n边形面积就越接近圆的面积S正六边形的面积正十二边形的面积............（圆的面积）形的面积正数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),nN.数列与函数二、数列数列：如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.整标函数数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取例如比如:当时,趋于0当时,趋于1当时,不趋于任何定数问题:“

3、无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它三、数列的极限当时,趋于1我们知道，数列对于式子通过这样“无限接近”的分析我们给出极限的概念随着项数n的增大，xn越来越接近A（不够确切）n充分大时，xn的值可以无限逼近A（定性描述）存在Exist任意Arbitrary通过如上分析知,所谓数列趋于定数A,就是很小,要多小有多小,即:对使得当时,（精确定义）数列极限的定义则称常数A是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于A如果数列没有极限，就称数列是发散的。数列极限的定义记作或设有数列{xn}和常数A，如果对任意给定的正数ε，总存在一个

4、正整数N，使得对于n>N时的一切xn，总有成立，OK!N找到了！！n>NNO,有些点在条形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示Nε越来越小，N越来越大！数列极限的演示AA-eA+e()数列极限的几何意义NN当nN时点xn全都落在邻域(A-e,A+e)内任意给定的数A的e邻域(A-e,A+e),存在A关于极限定义的说明1.ε是任意给定的.2.N与ε有关,且不唯一.3.并不是所有的数列都有极限，如{lnn},{(-1)n+1}的极限是不存在的.4.数列{

5、xn}以A为极限,我们称{xn}是收敛的，且收敛于A.若数列{xn}无极限，则称数列{xn}发散。例1证：所以四、数列极限的证明方法证明:例2:证明用定义证明数列极限存在时,关键是从绝对值不等式出发,由>0,找到使绝对值不等式成立的N(并不在乎N是否最小).YesYesNoNo练习1所以,证明:例4对于数列xn证练习2证由定义,收敛的数列必定有界1.有界性五、收敛数列的性质注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2.唯一性：每个收敛的数列只有一个极限.证且a≠b，由定义,矛盾，故收敛数列极限唯一.3.保号性.若

6、且时,有取证:对a>0,推论:若数列从某项起(用反证法证明)设均为收敛数列.若存在正整数使得当时有则证明：(1)(2)令则当时有由的任意性,得4.保序性注意：5.子数列的收敛性例如，定理收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证证毕．思考与练习如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.1，概念的引入；2，数列的极限3，数列极限的几何意义4，数列极限的证明方法5，收敛数列的性质小　　结GoodBye感谢同学们！