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1、高等代数(Ⅱ)试题二一.单项选择题(2分5=10分）1.设V是实数域R上n(n>1)阶反对称矩阵构成的向量空间,则V的维数是()A.nB.n２C.D.2.下列向量组中,哪一个可作为向量空间R3(R是实数域)的基.()A.{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)}B.{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1)}C.{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}D.{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5)}3．有限维向量空间V的线性变换关于不同基的矩阵P与Q的关系是()A.
2、P与Q相等B.P与Q合同C.P与Q互逆D.P与Q相似4．设是矩阵的特征值,β是相应的特征向量,下列说法中正确的是()A.β线性无关 B.β线性相关 C.β＝０D.前三种说法都不对5．下列表达式中那一个是二次型()A.f1=x+2x1x2+x+xB.f2=x+x2+x3C.f3=x1+x2+x3D.f4=x1x2+x1x2x3二.多项选择题(3分4=12分)1.设是向量空间V的线性变换,下列说法中正确的是()A.零向量在之下的象是零向量B.零向量在之下的象不一定是零向量C.―的象是―()D.+
3、的象是()+()2.给定矩阵A=,下列说法中正确的是()A.A能与对角形矩阵相似B.A不能与对角形矩阵相似C.A所有的特征值是2,3D.A的行向量线性相关E.A的列向量线性相关3.下列关于数域构成的向量空间(运算是普通数的加法与乘法)的说法正确的是()A.复数域C可看成是实数域R上的向量空间B.实数域R可看成是实数域R上的向量空间C.有理数域Q可看成是实数域R上的向量空间D.任何数域可看成是有理数域Q上的向量空间E.以上A,B,C,D四种说法都正确4.下列变换中,哪些是向量空间R3(R是实数域)
4、的线性变换()A.(x1,x2,x3)(x1,0,0)B.(x1,x2,x3)(x1,x2,0)C.(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)D.(x1,x2,x3)(x,0,0)E.(x1,x2,x3)(x,x,0)三.判断题（你认为命题正确时,在题干后的括号内画“√”，否则画“×”,2分5=10分）1．数域F上任何一个向量空间都与向量空间Fn同构()2.任何一个向量空间都有无穷多个向量()3.n(n>1)维向量空间V的基是唯一的.()24．设是n(n>1)维向量空间V的线性变换,且是满射,则一
5、定是可逆的线性变换.()5．n（n>1）维欧氏空间V可能有标准正交基，也可能没有标准正交基.()四、计算题（7分4=28分）1.求向量组1=(1,2,1),2=(2,1,3)，3=(3,0,4),4=(5,1,6)的一个极大线性无关组.并把其余向量用该极大线性无关组线性表示.２．设向量空间F3的线性变换为(x1,x2,x3)=(x1,x2,x1+x2)求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的坐标３.求矩阵的特征值及相应地特征向量.4.设｛1,2,3,4｝是向量空间V的
6、一个基,且V的线性变换在这个基下的矩阵是.求(V)与Ker.五.证明题（10分4=40分）1.若向量组线性无关，而线性相关，证明：可由唯一线性表示.2.设A是n阶正交矩阵,若
7、A
8、=－1,证明－1是A的一个特征值.3.设是向量空间V的线性变换,｛｝是V的一个基,证明,可逆的充要条件是(1),(2),…,(n)线性无关.4.证明,欧氏空间中两个向量,正交的充要条件是:对任意的实数t,都有
9、+
10、≥
11、
12、.2
