[解析]2014_2015学年河南省实验中学高一(下)期中数学试卷.doc

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.word可编辑.2014-2015学年河南省实验中学高一（下）期中数学试卷　一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若sinθ＞0，cosθ＜0，，则θ所在的象限是（　　）　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限　2．已知sinα=﹣，且α是第三象限角，则sin2α﹣tanα=（　　）　A．B．C．D．　3．，向量与的位置关系为（　　）　A．垂直B．平行　C．夹角为D．不平行也不垂直　4．函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（　　）　A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2　5．=（　　）　A．﹣B．﹣C．D．　6．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（　　）.专业.专注. .word可编辑.　A．B．C．D．2　7．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（﹣1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（　　）　A．3x+2y﹣11=0B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5C．2x﹣y=0D．x+2y﹣5=0　8．在△ABC中，=2，=，=，=，则下列等式成立的是（　　）　A．=2﹣B．=2﹣C．=﹣D．=﹣　9．点P是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△PAC的面积与△ABC的面积之比为（　　）　A．B．C．D．　10．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（　　）　A．B．C．D．　11．（文）已知tan，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=（　　）　A．﹣B．C．D．　.专业.专注. .word可编辑.12．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（　　）　A．﹣32B．﹣16C．16D．32　　二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设α∈（0，），若tan（α+）=2cos2α，则α=　　　　　　．　14．已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么|﹣3|等于　　　　　　．　15．已知，试求sin2α+3sinα•cosα﹣1的值为　　　　　　．　16．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是　　　　　　①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．　　三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设两个非零向量与不共线．（1）若+，，，求证：A，B，D三点共线；.专业.专注. .word可编辑.（2）试确定实数k，使k+和+k共线．　18．已知点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（0，π），且||=||，求α的大小；（2），求．　19．已知函数，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及的值；（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α﹣2β）的值．　20．设函数（其中ω＞0），且函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为．（1）求ω的值；（2）将函数y=f（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间的最大值和最小值．　21．函数f（x）=sin2x﹣﹣（1）若x属于[，]，求f（x）的最值及对应的x值；（2）若不等式[f（x）﹣m]2＜1在x上恒成立，求实数m的取值范围．　22．已知向量=（sinx，1），=（4cosx，2cosx），设函数f（x）=•．.专业.专注. .word可编辑.（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数f（x），x∈[﹣π，π]的单调递增区间．（3）设函数h（x）=f（x）﹣k（k∈R）在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围．　　.专业.专注. .word可编辑.2014-2015学年河南省实验中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析　一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若sinθ＞0，cosθ＜0，，则θ所在的象限是（　　）　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：计算题．分析：利用三角函数的定义，可确定y＞0，x＜0，进而可知θ在第二象限．解答：解：由题意，根据三角函数的定义sinθ=，cosθ=∵r＞0，∴y＞0，x＜0．∴θ在第二象限，故选B．点评：本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．　2．已知sinα=﹣，且α是第三象限角，则sin2α﹣tanα=（　　）　A．B．C．D．.专业.专注. .word可编辑.考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由sinα及α为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值，原式变形后代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα=﹣，且α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣，tanα=，则原式=2sinαcosα﹣tanα=2×（﹣）×（﹣）﹣=，故选：C．点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．　3．，向量与的位置关系为（　　）　A．垂直B．平行　C．夹角为D．不平行也不垂直考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先求向量与的数量积，如果为0，则垂直；否则存在其他位置关系．解答：解：由于==0所以向量与的位置关系是垂直．故选A．点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．　.专业.专注. .word可编辑.4．函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（　　）　A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．　5．=（　　）　A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．.专业.专注. .word可编辑.分析：将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：===sin30°=．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．　6．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（　　）　A．B．C．D．2考点：弧度制的应用．专题：数形结合．分析：等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线AB所对的圆心角∠AOB=，求出AB的长度（用r表示），就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数．解答：解：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线AB所对的圆心角∠AOB=，作OM⊥AB，垂足为M，在rt△AOM中，AO=r，∠AOM=，∴AM=r，AB=r，∴l=r，由弧长公式l=|α|r，.专业.专注. .word可编辑.得，α===．故选C．点评：本题考查圆心角的弧度数的意义，以及弧长公式的应用，体现了数形结合的数学思想．　7．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（﹣1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（　　）　A．3x+2y﹣11=0B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5C．2x﹣y=0D．x+2y﹣5=0考点：轨迹方程；向量的共线定理．专题：计算题；压轴题．分析：由点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，知点C在直线AB上，故求出直线AB的方程即求出点C的轨迹方程．解答：解：C点满足=α+β且α+β=1，∴A、B、C三点共线．∴C点的轨迹是直线AB又A（3，1）、B（﹣1，3），.专业.专注. .word可编辑.∴直线AB的方程为：整理得x+2y﹣5=0故C点的轨迹方程为x+2y﹣5=0故应选D．点评：考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程，是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题，难度较小，知识性较强．　8．在△ABC中，=2，=，=，=，则下列等式成立的是（　　）　A．=2﹣B．=2﹣C．=﹣D．=﹣考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则即可得出．解答：解：如图所示，∵，，，∴，∴，化为．故选：D．点评：本题考查了向量的三角形法则，属于基础题．.专业.专注. .word可编辑.　9．点P是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△PAC的面积与△ABC的面积之比为（　　）　A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：利用向量的三角形法则及向量的运算律得出，即得△PAC的面积与△ABC的面积之比．解答：解：，∵∴∴==即，故P点是线段BC的靠近C点的三等分点，则△PAC的面积与△ABC的面积之比为故选C．点评：本题考查向量的运算法则、向量的运算律及向量在几何中的应用．　10．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（　　）　A．B．C．D．.专业.专注. .word可编辑.考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．解答：解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．　11．（文）已知tan，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=（　　）　A．﹣B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：先把所求的式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，然后利用两角差的正切函数公式化简后，把已知的tanα和tan（β﹣α）的值代入即可求出值．解答：解；∵tan，∴tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α].专业.专注. .word可编辑.=﹣=﹣=﹣．故选B．点评：此题考查学生灵活运用两角差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的灵活变换．　12．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（　　）　A．﹣32B．﹣16C．16D．32考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32.专业.专注. .word可编辑.故选D点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．　二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设α∈（0，），若tan（α+）=2cos2α，则α=　arctan（2﹣）　．考点：三角方程．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用和角的正切公式，二倍角公式，化简，即可得出结论．解答：解：∵tan（α+）=2cos2α，∴，∵α∈（0，），∴tan2α﹣4tanα+1=0，∴tanα=2﹣，∴α=arctan（2﹣），故答案为：arctan（2﹣）．点评：本题考查和角的正切公式，二倍角公式，考查学生的计算能力，比较基础．　14．已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么|﹣3|等于　　．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．.专业.专注. .word可编辑.分析：由两个向量的数量积的定义，求出=﹣8，再由|﹣3|==，运算求得结果．解答：解：由题意可得=||•||cos120°=16×（﹣）=﹣8．∴|﹣3|====，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求出=﹣8，是解题的关键．　15．已知，试求sin2α+3sinα•cosα﹣1的值为　﹣　．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系变形后，整理求出tanα的值，原式变形后代入计算即可求出值．解答：解：∵==﹣1，即tanα﹣2=﹣3tanα﹣5，∴tanα=﹣，则原式====﹣，故答案为：﹣．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．　.专业.专注. .word可编辑.16．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是　①②③　①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：综合题；压轴题；整体思想．分析：把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x=x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．解答：解：①、把代入得，，故①正确；②、把x=代入得，，故②正确；③、当时，求得，故③正确；④、有条件得，，故④不正确．故答案为：①②③．点评：本题考查了复合三角函数图象的性质和图象的变换，把作为一个整体，根据条件和正弦函数的性质进行求解以及判断，考查了整体思想．　三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设两个非零向量与不共线．.专业.专注. .word可编辑.（1）若+，，，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．考点：向量的共线定理．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之间的共线关系，从而得到三点共线．（2）两个向量共线，写出向量共线的充要条件，进而得到关于实数k的等式，解出k的值，有两个结果，这两个结果都合题意．解答：解：（1）∵===，∴与共线两个向量有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）∵和共线，则存在实数λ，使得=λ（），即，∵非零向量与不共线，∴k﹣λ=0且1﹣λk=0，∴k=±1．点评：本题考查向量共线定理，是一个基础题，本题从两个方面解读向量的共线定理，一是证明向量共线，一是根据两个向量共线解决有关问题．　.专业.专注. .word可编辑.18．已知点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（0，π），且||=||，求α的大小；（2），求．考点：三角函数的化简求值；向量的模．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用||=||，列出方程求出α的正切函数值，然后求解α的大小；（2）通过，得到α的三角函数值，化简求解即可．解答：解：（1）点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．α∈（0，π），且||=||，可得：（3cosα﹣4）2+（3sinα﹣0）2=（3cosα）2+（3sinα﹣4）2，可得：﹣24cosα=﹣24sinα，即tanα=1，∴α=（2）=（3cosα﹣4，3sinα），=（3cosα，3sinα﹣4），，可得：9cos2α﹣12cosα+9sin2α﹣12sinα=0，sinα+cosα=．∴1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα===2sinαcosα=点评：本题考查两角和与差的三角函数，弦切互化，三角函数的化简求值，考查计算能力．　19．已知函数，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．.专业.专注. .word可编辑.（1）求点A、B的坐标以及的值；（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α﹣2β）的值．考点：两角和与差的正切函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据x的范围以及正弦函数的定义域和值域，求得，由此求得图象上的最高顶、最低点的坐标及的值．（2）由点A（1，2）、B（5，﹣1）分别在角α、β的终边上，求得tanα、tanβ的值，从而利用二倍角公式求得tan2β的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α﹣2β）的值．解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴，…（1分）∴．…（2分）当，即x=1时，，f（x）取得最大值2；当，即x=5时，，f（x）取得最小值﹣1．因此，点A、B的坐标分别是A（1，2）、B（5，﹣1）．…（4分）∴．…（6分）（2）∵点A（1，2）、B（5，﹣1）分别在角α、β的终边上，∴tanα=2，，…（8分）∵，…（10分）∴．…（12分）.专业.专注. .word可编辑.点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力，属于中档题．　20．设函数（其中ω＞0），且函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为．（1）求ω的值；（2）将函数y=f（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间的最大值和最小值．考点：复合三角函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得ω的值．（2）由（1）得f（x）=，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=，由x∈，根据正弦函数的定义域和值域求得函数g（x）在区间的最大值和最小值．解答：解：（1）由于=．…（3分）∵函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为，∴．…（5分）∴ω=2．…（6分）（2）由（1）得f（x）=，∴g（x）=．…（8分）由x∈可得，…（10分）.专业.专注. .word可编辑.∴当，即x=时，g（x）取得最大值为；当，即x=时，g（x）取得最小值为．…（12分）点评：本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．　21．函数f（x）=sin2x﹣﹣（1）若x属于[，]，求f（x）的最值及对应的x值；（2）若不等式[f（x）﹣m]2＜1在x上恒成立，求实数m的取值范围．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：综合题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用辅助角公式化简，结合x属于[，]，利用正弦函数的性质，即可求f（x）的最值及对应的x值；（2）[f（x）﹣m]2＜1等价于m﹣1＜f（x）＜m+1，利用（1）的结论建立不等式组，即可求实数m的取值范围．解答：解：（1）f（x）=sin2x﹣﹣=sin（2x﹣）﹣1，∵x属于[，]，∴2x﹣∈[，]，∴2x﹣=，即x=时，函数取得最小值﹣；2x﹣=，即x=时，函数取得最大值0；（2）[f（x）﹣m]2＜1等价于m﹣1＜f（x）＜m+1，∵不等式[f（x）﹣m]2＜1在x上恒成立，.专业.专注. .word可编辑.∴，∴﹣1＜m＜．点评：本题考查辅助角公式的运用，考查三角函数的最值，考查恒成立问题，正确求出函数的最值是关键．　22．已知向量=（sinx，1），=（4cosx，2cosx），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数f（x），x∈[﹣π，π]的单调递增区间．（3）设函数h（x）=f（x）﹣k（k∈R）在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；根的存在性及根的个数判断；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数f（x）的解析式．（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，再结合x∈[﹣π，π]可得函数的增区间（3）由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得结论．解答：解：（1）函数f（x）=•=4sincos+2cosx=2sinx+2cosx=4sin（x+）．（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈z．.专业.专注. .word可编辑.再结合x∈[﹣π，π]可得函数的增区间为[﹣，]．（3）∵函数h（x）=f（x）﹣k（k∈R）在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，即函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得：当k＞4，或k＜﹣4时，n=0；当k=4，或k=﹣4时，n=1；当﹣4＜k＜﹣2，或﹣2＜k＜4时，n=2；当k=﹣2时，n=3．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，方程根的存在性及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．　.专业.专注.