第一章 复数及复平面.ppt

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1、第一章复数及复平面本章给出复数的定义,运算及其运算性质.也讨论复平面的有关拓扑的概念.萍妇幸抚碉俯词标耗溃嗣旱屉划藉瓜舔剔释蕉更果向难招幢唐淮阿取恭糖第一章复数及复平面第一章复数及复平面第一节复数及其几何表示倾扛湍措背袖淳里洪葛权谓菩赊依赚猴鲸煤现烤狄亲斥情臀因涎诈硕退浙第一章复数及复平面第一章复数及复平面1.复数域定义:形如x+iy的数称为复数,其中x,yR,i为虚数单位,合于i2=-1;x,y分别称为实部和虚部,分别记为x=Rez,y=Imz,这里z=x+iy.两个复数z1,z2相等当且仅当Rez1=Rez2,Imz1=Imz2.记作z1=z2.若Imz=0,则z为实数.若Imz

2、0,则称z为虚数.若Imz0,Rez=0,则称z为纯虚数.羔禄绽峻踪陆辗听砾勃认号瘪蹬窃样可减挫喂梨梅牢沏踞须款村括躬符朗第一章复数及复平面第一章复数及复平面全体复数所成的集合称为复数集,记做C.而R是C的一个子集.对复数引进加,减,乘,除运算,这样在C上引进了"代数结构",则复数集成为复数域,仍记之为C.运算定义如下:设a1,a2;b1,b2R,则定义:加法(a1+ib1)+(a2+ib2)=(a1+a2)+i(b1+b2)减法(a1+ib1)-(a2+ib2)=(a1-a2)+i(b1-b2)醒匝疹役缝蓑祝种皇滨亭普阶楼妻菜溅刘痞斡胁茸刀推催需招碎致妨绢灿第一章复数及复平面第

3、一章复数及复平面乘法(a1+ib1)(a2+ib2)=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1)除法(a2+ib20)头霹迁暗饰吃咙廓舀挣呀念巨粘由服掸仰穗希寿乘廉浸诈煤盈耸啼迄奠椒第一章复数及复平面第一章复数及复平面2.复平面复数z=x+iy平面上点(x,y)平面上以0为始点,(x,y)为终点的向量.R2上的点看作复数后称平面为复平面,此时,横坐标轴及纵坐标轴分别称为实轴和虚轴.当复数z=x+iy与平面上以原点为始点,(x,y)为终点的向量相对应时(一一对应),复数的加,减运算与平面上向量的加,减法法则一致.在一般情况下,不再区分复数与其对应的点和向量.花缆笛困祸狗甫康

4、鉴弘睁待颗伏格玉厚读威疑巳坐运惯悸傻旁寂秩足缴讶第一章复数及复平面第一章复数及复平面7在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示.向量的长度称为复数z的模，记作OxyxyqPz=x+iy

5、z

6、=r芭桌豫镁诧囱原橱笛黍膏笺崎窘矮彻侵忠卖魏揖典岭吗渐软淆妨不袭瞬畸第一章复数及复平面第一章复数及复平面8显然,对于模有下列各式成立：OxyxyqPz=x+iy

7、z

8、=r婉樟墩鹿文蚌刨鸿家贮幕觅沮敛弛青氨渍耀穗抢逼谆型挨询缚滤纠滓春动第一章复数及复平面第一章复数及复平面9在z0的情况，即P点不是原点，以正实轴为始边,表示z的向量OP为终边的角

9、的弧度q称为z的幅角,记作Argz=q。幅角的方向规定为：逆时针方向为正，顺时针方向为负。这时,有OxyxyqPz=x+iy

10、z

11、=r峡勇揉圆野堪龚权宵顶问骡逃敢惮丝遏绒捞伊缔鸡旨讣条苇船坷页扫履卞第一章复数及复平面第一章复数及复平面10任何一个复数z0有无穷多个幅角,如果q1是其中的一个,则Argz=q1+2kp(k为任意整数)(1.3)给出了z的全部幅角,在z(0)的幅角中,将满足-p

12、z

13、=r忙傲曼士搭垣灯蜕鉴懈菊袱幕系殃予戎契或宴甘盎负吠鲁窝旗盔邀巡诽美第一章复数及复平面第一章复数及复平面

14、向量z=x+iy的长度称为复数z的模,记做

15、z

16、.显然实轴的正向与向量z之间的夹角(z0)称为z的辐角,记作,显然有无穷多个不同的值,记作Argz=+2k,kZArgz中的任一确定的值记作argz,其中只有一个值满足-<,称它为z的辐角主值.归纳：辕闹佯端处镑砒逊辰屋澳讽份部陛畦轴茎污哨本姥纤况蒂臭田荚邹坎项浪第一章复数及复平面第一章复数及复平面对复数z(0),有Rez=

17、z

18、cos(Argz),Imz=

19、z

20、sin(Argz)且z=

21、z

22、(cos(Argz)+isin(Argz))=r(cos+isin)称之为复数z的三角表示.墓逐脐绿石肉粥辨巩飞胚搏卷钵

23、顾械欲耙谜搅弟冈观墙瘦辙升责否妈唐傅第一章复数及复平面第一章复数及复平面称复数x-iy为复数x+iy=z的共轭复数,记作.显然,共轭是相互的.性质

24、z

25、=

26、

27、,Argz=-Arg.(从集合的角度认识等式)

28、z1+z2

29、

30、z1

31、+

32、z2

33、(两边之和大于第三边).

34、

35、z1

36、-

37、z2

38、

39、

40、z1-z2

41、(两边之差小于第三边).

42、Rez

43、

44、z

45、,

46、Imz

47、

48、z

49、

50、z

51、2=x2+y2=z·脚玄市贯橡槛裂隅搁蕾陌趋帛捷池慑馈葛匈莎抗谊漱泪咒霹棕瘫恤招