ch1复数和复平面讲课ppt课件.ppt

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1、复变函数与积分变换李畸勇广西大学电气工程学院一、教学及考核方式主要参考书（略）考试方式：闭卷考试成绩：平时占40%，考试占60%作业：每次课交作业一次答疑：每周一次课堂教学：42学时(练习册)(电气学院303室)二、教学内容本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。复变函数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础理论课，是工程数学的主要课程之一。复变函数与积分变换在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。复变函数的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形映射以及解析函数在平面场的应用。其中，带“*”号的内容本课堂不需要掌握。积分变换的内容包

2、括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。第一章复数与复平面复数领域的推广和发展。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人的长期努力，复数的地位才被确立下来。复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面为这门学科的发展作了大量奠基工作的发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等。则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。(虚数史话)第一章复数与复平面§1.2复数的几种表示§1.1复数§1.3平面点集的一般概念§1.4无穷大与复球面§1.1复数一、复数及其运算二、共轭复数一、复数及

3、其运算1.复数的基本概念定义(1)设x和y是任意两个实数，(或者)的数称为复数。(2)x和y分别称为复数z的实部与虚部，并分别表示为：当y=0时，因此，实数可以看作是复数的特殊情形。(3)当x=0时，称为纯虚数；就是实数。将形如其中i称为虚数单位，即设与是两个复数，如果则称与相等。它们之间只有相等与不相等的关系。一、复数及其运算1.复数的基本概念相等当且仅当特别地，复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小，注一、复数及其运算2.复数的四则运算设与是两个复数，(1)复数的加减法加法减法(2)复数的乘除法乘法如果存在复数z，使得则除法一、复数及其运算2.复数的四则运算(3)运算法则交换律

4、结合律分配律二、共轭复数1.共轭复数的定义设是一个复数，定义称为z的共轭复数，记作。共轭复数有许多用途。注比如二、共轭复数2.共轭复数的性质其中，“”可以是(2)(3)(1)性质解(1)(2)证明卡尔丹称它们为“虚构的量”或“诡辩的量”。他还把它们与负数统称为“虚伪数”；把正数称为“证实数”。附：历史知识——虚数史话两数的和是10,积是40,求这两数．卡尔丹发现只要把10分成和即可。1545年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在《大术》中求解这样的问题：卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的学生哈里奥特的责难。附：历史知识——虚数史话整个十七世纪，很少有人理睬这种“虚构的量”。仅有

5、极少数的数学家对其存在性问题争论不休。意义下的“复数”的名称。1632年，笛卡尔在《几何学》中首先把这种“虚构的量”改称为“虚数”，与“实数”相对应。同时，还给出了如今附：历史知识——虚数史话到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。1722年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理：其中n是大于零的整数。1748年，欧拉给出了著名的公式：并证明了德摩佛定理对n是实数时也成立。1777年，欧拉在递交给彼德堡科学院的论文《微分公式》中首次使用i来表示附：历史知识——虚数史话十八世纪末，高斯的出现使得复数的地位被确立下来。1797年，当时年仅20岁的高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理。高斯在证明中巧妙地给出

6、了复数的几何表示，使得人们直观地理解了复数的真实意义。十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐渐发展成为一个庞大的数学分支。而且n次多项式恰好有n个根。任何多项式在复数域里必有根，即附：人物介绍——高斯许多数学学科的开创者和奠基人。几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献。享有数学王子的美誉。德国数学家、(1777～1855)高斯JohannCarlFriedrichGauss物理学家、天文学家高斯去世后，哥廷根大学对高斯的文稿进行了整理，历时67年，出版了《高斯全集》，共12卷。附：人物介绍——高斯在哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑，它的底座砌成正十七边形，纪念碑上是高斯

7、的青铜雕像。18岁(返回)§1.2复数的几种表示一、复数的几何表示二、复数的三角表示和指数表示三、复数的乘幂与方根四、几个关系一、复数的几何表示1.复平面此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。在平面上建立一个直角坐标系，定义用坐标为的点来表示复数从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来，的平面称为复平面或者这样表示复数zz平面。引进复平面后，复数z与点z以及向量z视为同一个概念。在复平面上，从原点到