《复数及复平面》PPT课件.ppt

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1、第一章复数及复平面本章给出复数的定义,运算及其运算性质.也讨论复平面的有关拓扑的概念.第一节复数及其几何表示1.复数域定义:形如x+iy的数称为复数,其中x,yR,i为虚数单位,合于i2=-1;x,y分别称为实部和虚部,分别记为x=Rez,y=Imz,这里z=x+iy.两个复数z1,z2相等当且仅当Rez1=Rez2,Imz1=Imz2.记作z1=z2.若Imz=0,则z为实数.若Imz0,则称z为虚数.若Imz0,Rez=0,则称z为纯虚数.全体复数所成的集合称为复数集,记做C.而R是C的一个

2、子集.对复数引进加,减,乘,除运算,这样在C上引进了"代数结构",则复数集成为复数域,仍记之为C.运算定义如下:设a1,a2;b1,b2R,则定义:加法(a1+ib1)+(a2+ib2)=(a1+a2)+i(b1+b2)减法(a1+ib1)-(a2+ib2)=(a1-a2)+i(b1-b2)乘法(a1+ib1)(a2+ib2)=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1)除法(a2+ib20)2.复平面复数z=x+iy平面上点(x,y)平面上以0为始点,(x,y)为终点的向量.R2上的点

3、看作复数后称平面为复平面,此时,横坐标轴及纵坐标轴分别称为实轴和虚轴.当复数z=x+iy与平面上以原点为始点,(x,y)为终点的向量相对应时(一一对应),复数的加,减运算与平面上向量的加,减法法则一致.在一般情况下,不再区分复数与其对应的点和向量.7在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示.向量的长度称为复数z的模，记作OxyxyqPz=x+iy

4、z

5、=r8显然,对于模有下列各式成立：OxyxyqPz=x+iy

6、z

7、=r9在z0的情况，即P点不

8、是原点，以正实轴为始边,表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角,记作Argz=q。幅角的方向规定为：逆时针方向为正，顺时针方向为负。这时,有OxyxyqPz=x+iy

9、z

10、=r10任何一个复数z0有无穷多个幅角,如果q1是其中的一个,则Argz=q1+2kp(k为任意整数)(1.3)给出了z的全部幅角,在z(0)的幅角中,将满足-p

11、z

12、=r向量z=x+iy的长度称为复数z的模,记做

13、z

14、.显然实轴的正向与向量

15、z之间的夹角(z0)称为z的辐角,记作,显然有无穷多个不同的值,记作Argz=+2k,kZArgz中的任一确定的值记作argz,其中只有一个值满足-<,称它为z的辐角主值.归纳：对复数z(0),有Rez=

16、z

17、cos(Argz),Imz=

18、z

19、sin(Argz)且z=

20、z

21、(cos(Argz)+isin(Argz))=r(cos+isin)称之为复数z的三角表示.称复数x-iy为复数x+iy=z的共轭复数,记作.显然,共轭是相互的.性质

22、z

23、=

24、

25、,Argz=-Arg.(从

26、集合的角度认识等式)

27、z1+z2

28、

29、z1

30、+

31、z2

32、(两边之和大于第三边).

33、

34、z1

35、-

36、z2

37、

38、

39、z1-z2

40、(两边之差小于第三边).

41、Rez

42、

43、z

44、,

45、Imz

46、

47、z

48、

49、z

50、2=x2+y2=z·14由复数运算法则,两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致.Oxyz1z2z1+z2成立不等式

51、z1+z2

52、

53、z1

54、+

55、z2

56、(三角不等式)15减法:Oxyz1z2z1-z2-z2

57、z1-z2

58、

59、

60、z1

61、-

62、z2

63、

64、例1:试用复数表示圆的方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a0)

65、其中a,b,c,d是实常数(如果a=0,b及c不全为0,则方程退化为直线方程）积、商之模与辐角

66、z1·z2

67、=

68、z1

69、·

70、z2

71、Arg(z1·z2)=Argz1+Argz2••注:关于辐角关系要从集合的角度来理解.例3:设z1,z2是两个复数,求证:

72、z1+z2

73、2=

74、z1

75、2+

76、z2

77、2+2Re(z1)并利用这一等式证明:

78、z1+z2

79、

80、z1

81、+

82、z2

83、例4:作出过复平面C上不同两点a,b的直线以及过不共线三点a,b,c的圆的表示式.乘幂与方根若z=rcos+isin,则zn=rn(cos(n

84、)+isin(n))k=0,1,,n-1.例5.求的所有值3.复球面及无穷大本小节讨论复数在复球面上的几何表示.利用测地投影法.考虑球面S:x2+y2+u2=1.取球面上一点N(0,0,1),称为球极.作连接N与xy平面上的点A(x,y,0)的直线,此直线与球面交与点A‘(x’,y‘,u’),称A‘为A在球面上的球极射影.如此在复平面C与S-{N}之间建立双射.22复球面NOyPzxS约定:在复平面上有一个理想的点,称之为无穷远点,其球极射影为N