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1、第三章时域离散信号和系统的Z变换分析方法3.1序列Z变换的定义3.2序列特性对收敛域的影响3.3逆Z变换3.4Z变换的性质和定理3.5利用Z变换解差分方程3.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性习题3.1序列Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义如下:式中,z是一个复变量，可以表示为(3.1.1)(3.1.2)式中,r和ω均为实变量。注意在定义中，对n求和是在-∞~+∞之间求和，故称为双边Z变换。还有一种针对因果序列的Z变换，称为单边Z变换，定义如下：(3.1.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，用公式表示如下：(3.
2、1.3)(3.1.4)要使上式成立，除和序列x(n)有关以外，和z变量在z平面上取值的域也有关。如果对于某个序列，称能使上式成立的z变量取值的域为X(z)的收敛域,则可以推想,对于不同的序列,就有不同的收敛域。收敛域一般用下式表示：Rx-＜
3、z
4、＜Rx+(3.1.5)按照(3.1.2)式，上式也可改写成下式：Rx-＜
5、r
6、＜Rx+(3.1.6)(3.1.5)式和(3.1.6)式表示，收敛域一般是用一个环状域表示的，这里Rx-和Rx+分别是两个圆的半径，收敛域就是用这两个圆形成的环状域表示的，如图3.1.1中斜线部分所示。Rx-和Rx
7、+可称为收敛半径，当然Rx-可小到零，Rx+可以大到无穷大。图3.1.1Z变换的收敛域常用的Z变换是一个有理函数，可用两个多项式之比表示：(3.1.7)分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式的根是X(z)的极点。在极点处X(z)不存在，因此可以推想收敛域中肯定没有极点，那么收敛域也肯定是以极点为边界。总结以上所述,Z变换收敛域的特点是：(1)Z变换只存在在收敛域中，不同的序列有不同的收敛域。(2)收敛域用环状域表示，且总是以极点为边界。例3.1.1设x(n)=0.9nu(n),求它的Z变换，并确定收敛域。解按照Z变换的定义,推
8、导如下：如果上式的X(z)存在，则要求满足绝对可和的条件，即要求下式成立：由上式得到：
9、0.9z-1
10、＜1,解该不等式，得到：
11、z
12、＞0.9，这就是X(z)的收敛域。在该收敛域中,x(n)的Z变换为上式也可以写成收敛域的示意图如图3.1.2所示(图中斜线部分)。收敛域
13、z
14、＞0.9也可以写成0.9＜
15、z
16、≤∞。但要注意如果收敛域是0.9＜
17、z
18、＜∞，不能写成
19、z
20、＞0.9。图3.1.2收敛域下面将Z变换和已学过的傅立叶变换进行对比，看它们之间有什么关系。将Z变换的定义(3.1.1)式和傅立叶变换的定义(2.2.1)式重写如下：对比上面两
21、式，得到序列Z变换和它的傅立叶变换之间的关系：X(ejω)=X(z)
22、z=ejω(3.1.8)上面关系式表明如果已知序列x(n)的Z变换X(z)，只要将z=ejω带入X(z)，便得到它的傅立叶变换X(ejω)。另外，z=ejω在z平面上是半径为1的圆，辐角是ω，它被称为单位圆，如图3.1.3所示。图3.1.3Z平面上的单位圆例3.1.2x(n)=u(n),求其Z变换和收敛域。解X(z)存在的条件是
23、z-1
24、＜1，因此收敛域是
25、z
26、＞1，在收敛域中，它的Z变换为3.2序列特性对收敛域的影响1.有限长序列如果序列取非零值的区间是有限长的，
27、称该序列为有限长序列。有限长序列可以用下式表示：有限长序列的Z变换为(3.2.1)(3.2.2)对于n1、n2分别的取值有三种情况，下面按照三种情况总结如下：(1)n1＜0,n2≤0,收敛域为：0≤
28、z
29、＜∞；(2)n1＜0,n2＞0,收敛域为：0＜
30、z
31、＜∞；(3)n1≥0,n2＞0,收敛域为：0＜
32、z
33、≤∞。例3.2.1求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解x(n)=RN(n)是一个有限长序列，它的非零值区间是n=0~N-1，根据上面的分析,它的收敛域应是：0＜
34、z
35、≤∞。下面先求它的Z变换。根据上面得到的X(z)，先分析X
36、(z)的极零点在哪里。将X(z)写成下式：先求它的零点，零点是分子多项式的根，即求下式的根：zN-1=0zN=1=ej2πM式中,M取整数。因为这是一个N阶多项式，应该有N个根，具体是：M=0,1,2,…,N-1X(z)的极点是X(z)分母多项式的根，即解下面方程式：zN-1(z-1)=0它的极点是z=1和z=0(N-1阶极点)，但要注意到在零点中，当M=0时，零点是z=1,这样,z=1处的极零点相互抵消。该Z变换只有N-1个零点，它们是：2.右序列右序列是指序列在n≥n1时，序列值不全为0，而在n＜n1时，序列值全为0的序列。这种序列的
37、Z变换如下式：M=1,2,…,N-1为了分析它的收敛域的特点，将序列分成两部
