阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法 (2).ppt

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1、2．3直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1直线与平面垂直的判定一、阅读教材P64～66回答1．如果一条直线l和一个平面α内的，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作，直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做．2．过一点一条直线与已知平面垂直；过一点一个平面与已知直线垂直．任意一条直线都垂直l⊥α垂线垂面垂足有且仅有有且仅有3．直线与平面垂直的判定方法：(1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条．用符号表示为.(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号表示为.也垂直于这个平面

2、a∥b，a⊥α⇒b⊥α两条相交a⊥b，a⊥c，b∩c＝A，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α4．一条直线PA与平面α相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的，交点A叫做，过斜线上除斜足外的任一点P作平面α的垂线PO，则AO叫做．平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做，一条直线垂直于平面，它们所成的角为，一直线平行于平面或在平面内，它们所成的角为.斜线斜足斜线在平面α上的射影这条直线和这个平面所成的角直角0°二、解答下列各题1．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在的直线()A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案]B2．直线a⊥平面α，直线b⊂α，则a与b的位

3、置关系是.3．如果一条直线垂直于一个平面内的：(1)三角形的两条边；(2)梯形的两条边；(3)圆的两条直径．请问这条直线是否与平面垂直，说明你的理由．[答案](1)(3)垂直；(2)不一定垂直．a⊥b[解析]三角形的两边及圆的两条直径总相交，由线面垂直的判定定理知，这条直线垂直于这个平面，但梯形的两条边可能相交也可能不相交，故直线和平面不一定垂直．4．过一点P与已知直线l垂直的直线有几条？这些直线的分布有何特征？[答案]无数条．都在过点P与l垂直的平面内．5．如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，说明折痕与桌面的位置关系．[答案]折痕与桌面垂直．本节学习重点

4、：线面垂直的判定．本节学习难点：线面垂直的证明，特别是通过计算证明垂直关系．1．线面垂直的判定①用定义：证l和α内任意一条直线垂直．②用定理：证l和α内“两条相交”直线都垂直，我们可把定理简化为：线线垂直⇒线面垂直．③利用平行线：若a⊥α，证l∥a即可知l⊥α.2．由线面垂直定义：l⊥α，a⊂α，则l⊥a.3．A是平面α外一点，AB⊥α，B为垂足，则线段AB叫做点A到平面α的垂线段，垂线段的长叫做点A到平面α的距离，点B是A在平面α内的正投影(简称射影)设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影．(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝

5、90°时，O为斜边AB的中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．[例1]在平面α内有直角∠BCD，AB⊥平面α，求证：CD⊥平面ABC.在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.[分析]利用两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，本题可先证AC⊥平面BB1O，再证EF∥AC即可．[解析]如右图，连结AC，BD，则O为AC，BD的交点∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO又∵BB1⊥平面ABCD，AC

6、⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O.又∵EF是△ABC的中位线∴EF∥AC∴EF⊥平面BB1O[例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[分析]求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[答案]D[解析]∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，∵A

7、A1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，[例3]如何检验钻床的钻头是否垂直于工作台面？[解析]可把角尺的一边放在工作台面上，再看角尺的另一边与钻头是否密合，然后再把角尺换一个方向(不是原来的反方向)，照样再检查一次．如果两次检查中，钻头与角尺的边都能密合，那么就可以断定钻头与工作台面是垂直的，这就是直线和平面垂直的判定定理1的应用．有一根旗杆AB高12m，它的顶端A挂着两条长13m的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C、D(和旗杆脚B不在同一条直线上)．若这两点和旗杆脚B的距离都是5m，则旗杆就和地面垂直，为什么？[解析]在△A