阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法 (2).pptx

《阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法 (2).pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、欧几里得和几何《原本》授课：杨沛森欧几里得生平简介古希腊数学家欧几里得（前330——前275），希腊论证几何学的集大成者，关于他的生平我们所知，根据有限的记载推断，欧几里得早年就学于雅典。公元前300年左右，应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的莫基人。据传勒密王曾问欧几里得有无学习几何的捷径？欧几里得回答说：“几何学无王道。”另一则轶事说，有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问：“学了这些我能获得什么呢？”欧几里得叫来一个仆人吩咐说：“给这个先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中捞点什么。”欧几里得

2、写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作，现存的有《原本》(Elements)、《数据》(Data)、《论剖分》(OnDivisions)《现象》(Phaenomena)、《光学》(Optics)和《镜面反射》(Catoptrica)等，还有一些仅知其名而内容失传的著作如《圆锥曲线》(Conics)《衍论》(Porisms)、《曲面轨迹》(SurfaceLoci)、《辩伪术》(Pseudaria)等等，在所有这些著作中，最重要的莫过于《原本》了。《原本》介绍“原本”的希腊文，原意是指一学科中具有广泛应用的最重要

3、的定理。欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果整理、收集起来，并且加以系化。他从少数已被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论，写成了在数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《原本》。欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结，全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系，以下简要介绍《原本》的内容。第I卷作为全书之首，给出了一些最基本的定义，如“点是没有部分的”；“线是没有宽

4、度的长”；“面是只有长度和宽度的”；“圆是由一条曲线包围的平面图形，从其内一点出发落在曲线上，所有线段彼此相等”；……；等等。接着便列出了5条公设和5条公理。一、公设1、假定从任意一点到任意一点可作一直线。2、一条有限直线可不断延长。3、以任意中心和直径可以画圆。4、凡直角都彼此相等。5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无线延长，他们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。二、公理1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，和相等.3、等量减等量，差相等。4、彼此重合的图形是全等的。5、

5、整体大于部分。欧几里得以这些基本定义、公设、公理作为全书推理的出发点，得到了一系列定理和结论，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。欧几里得《原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义是它在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系，过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的。欧几里得借助逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭示彼此间相的内在联系，整理在一个严密的系统之中。《原本》体现了这欧几里得种理性精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。正因为如此，《原本》得以跨越地域、民族、语言、时间的一切障碍传播

6、到了整个世界，公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受。人们现在已普遍建立了这样的认识，所有的数学理论，都必须按照数学的定义，公理与三段论的逻辑论证来组织。《原本》为数学发展树起一面旗帜，并成为理性思维的象征。数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念(基本概念)和尽可能少的一组不加证明的原始命题(公理、公设)出发，应用严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法。基本概念是一些不加定义的原始概念，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念去定义的。如中学数学中的点、直线、平面、集

7、合等概念都是基本概念。公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定，如“过两点至少有一条直线”、“经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”等都是作为公理的命题。什么是公理化方法呢?(1)概括整理数学知识。公理化方法的主要作用《原本》就是欧几里得用公理化的方法把零散的几何知识归为一体，树立了以公理化方法研究数学的典范。(2)促进新理论的创立。由于公理化方法把数学分支的基础分析得十分清楚，结构严谨有序，这就有利于比较数学各分支实质上的异同，从而推动和促进数学新理论的产生，促进数学基础的研究与探索

8、。例如，非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的。(3)对其他学禾科有示范作用。由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性以及结构的和谐性，为其他科学理论的表述起了示范作用。其他科学纷纷效法，建立了自己的公理化的理论系统。给我们的启示1、系统化，理论化构建自己知识系统对我们学习数学有很大的帮助；2、数学中概念的核心作用；3、利用公理化方法构建自己的立体几何体系；