阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法 (3).ppt

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1、日喀则市第三高级中学成雁兵欧几里德原本与公理化方法本节内容一、公理化思想方法的内涵与价值二、直观公理化时期——《几何原本》三、思辨性的公理化时期——非欧几何四、形式主义的公理化时期——希尔伯特的《几何基础》五、结构主义的公理化时期——布尔巴基的《数学原本》六、张景中公理几何体系一、公理化思想方法的内涵与价值什么是“公理”？公理：在一个系统中已为反复的实践所证实而被认为不需要证明的真理，是可以作为证明中的理论依据。什么是“公理化方法”？公理化方法：从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导是系列定理，从而构成一个演绎系统的方法。公理化思想方法的作用(1

2、)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。(2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性异同。(3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构和谐性确实符合数学美的要求。二、直观公理化时期——几何原本《几何原本》公元前3世纪，1607年前6卷译成中文“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”—

3、—徐光启《几何原本》的主要内容共13卷第一卷：提出23个定义、5条公设、5条公理、48个命题第一卷从定义、公设、公理开始，接着用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形。第二卷：14个命题包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。第三卷：37个命题包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论及圆幂定理等。命题16在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间，而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐角。第四卷：16个命题包含圆的内接和外多边形的性质及正5、6边形的作图等。第五卷：25个命题内容为欧道克斯的比例论第七～九卷：数论初步第十卷：讨

4、论不可公度量的分类，包括与整数的开方有关的几何运算。第十一～十三卷：立体几何，分别由40、18、19个命题组成。包含直线与平面的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积之比及正多面体等三、思辨性的公理化时期——非欧几何《原本》的成就：集古代数学之大成，论证严密，影响深远，是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。《原本》的不足：《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的1、缺少连续公理2、缺少合同公理3、缺少顺序公理《原本》对一些基本元素（原始概念），如点、线、面等进行定义，这是不可能的。四、形式主义公理化时期——希尔伯特的《几何基础》

5、希尔伯特的公理系统，放弃了欧氏体系中公理的直观显然性，把初等几何中有关基本概念的根本关系和性质抽取出来作为公理，给出了一个自然、简明、全面而又严密的几何公理系统。与欧氏公理系统不同的是，他对公理体系中基本概念和公理不给予任何具体的称为点、线、面。在这三个集合中，引进用“结合”、“顺序”、“合同”、“连续”、“平行”等词表示的五种关系，而关系的性质用相应的五组公理来刻画。五、结构主义的公理化时期——布尔巴基的《数学原本》。19世纪末20世纪初希尔伯特建立了严密的几何公理皮亚诺建立了自然数公理戴德金建立了实数公理策梅洛和弗伦克尔创立了集合公理豪斯多夫提出了拓扑空间的

6、公理公定义勒贝格提出了可列可加的测度公理柯尔莫哥洛夫创建了概率的公理化定义