22特殊、分块.ppt

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1、上课手机关了吗？10/8/20211第三章矩阵2.性质1)七、n阶方阵的行列式1.概念:n阶方阵A=(aij)n×n的元素按原有位置构成的行列式,称为方阵A的行列式.记作2)[注]矩阵乘法不满足交换律,但设Bn×n[注]方阵An×n和它的行列式是完全不同的两个概念:矩阵A是n2个数排列成的一个正方形数表,而则表示矩阵A所对应的一个数.3)推广:例14设A为三阶矩阵,B为四阶矩阵,求[－48，－54]小结：方阵的乘方与多项式、转置、矩阵定义；矩阵运算：加减、数乘、乘法、各运算满足及不满足的运算律.方阵的行列式10/8/

2、20213第三章矩阵2.2几种特殊的矩阵及其运算1.对角矩阵:方阵,即:结论:A,B同阶对角阵A±B,kA,AB=BA为对角阵2.数量矩阵：对角阵，对角线上元素相同，形如aij=0,i≠j(i,j=1,2,…,n)AT=A=aEn3.单位矩阵：数量矩阵，对角线上元素为1结论:4.上(下)三角形矩阵：方阵,形如结论：数乘三角形矩阵及同阶同结构三角形矩阵之和、积仍为同结构三角形矩阵.EmAm×n=Am×n=Am×nEn(aEm)Am×n=aAm×n=Am×n(aEn)aij=0,i>j(aij=0,i

3、215第三章矩阵5.对称矩阵:aij＝aji反对称矩阵:aij=-ajiA反对称结论:①A、B同阶对称(反对称)矩阵,则kA、A+B仍为对称(反对称)矩阵，但AB未必为对称(反对称)矩阵。例:②A、B均为n阶对称(反对称)矩阵，则AB对称(反对称)AB＝BA(AB＝－BA)证②“反对称”：由已知，必要性()充分性()A为对称矩阵AT=AAT=－Aaii=0AT=－A，BT=－B∵(AB)T＝－AB∴AB＝－(AB)T＝∵AB＝－BA∴(AB)T＝BTAT＝－BTAT＝－(－B)(－A)＝－BA(－B)(－A)＝BA＝

4、－AB10/8/20216第三章矩阵结论:③任一n阶方阵均可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和：B对称;C反对称.④对任意矩阵A,ATA与AAT均为对称矩阵.00考研:，n为正整数,则技巧：∵(ATn×mAm×n)T＝AT(AT)T＝ATA(AAT)n=A(ATA)(ATA)AT…AAT[a2(a－2n)]＝B＋C针对:行数,列数较高的矩阵(大型矩阵),采用分块法.目的:大矩阵运算转化为若干特殊的小矩阵运算,使运算更简单.例如:1.概念:例子块:用纵、横线分成的若干个小矩阵分块矩阵：以子块为元素的矩阵2.4分块矩

5、阵一个矩阵可根据需要把它写成不同的分块矩阵.如:2.分块矩阵的运算1)加法:A、B同型，且以同样方式分块，则A±B＝对应子块相加减.2)数乘：kA＝数k乘以各个子块.3)乘法:A列数=B行数,A列的分法与B行的分法相同,则AB＝以子块为元素，矩阵相乘.4)转置:分块矩阵行列互换,且各子块都转置.,求AB例1.设解AB＝B11＋A12B21＝设例2EOA1A2用分块矩阵乘法求A2解EOA1A2A2＝A1＋A1A210/8/202112第三章矩阵A的第i行行向量例3.设由分块矩阵乘法运算得：另一方面,[注]Am×sBs×

6、n＝A(B1,B2,…,Bn)＝(AB1,AB2,…,ABn)(A列不分块,B行不分块)AEn＝A＝＝(A1A2…An)3.特殊分块矩阵及有关结论1)分块三角形矩阵及其中Aii(i=1,2,…,s)是ri阶方阵.结论:①②同结构的分块三角形矩阵的和、积仍是同结构的分块矩阵.10/8/202114第三章矩阵An×n中非零元都集中在主对角线附近,有时可分为对角块矩阵.2)分块对角矩阵(准对角矩阵)其中Ai(i=1,2,…,s)是ri阶方阵.(是1)的特例)特别地,D＝则[注](由拉普拉斯定理易得)10/8/202115第

7、三章矩阵预习:“2.3逆矩阵”作业P75：2(5)；3;5(1)(2).10/8/202116第三章矩阵下课10/8/202117第三章矩阵