第五章 近似方法.doc

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1、第五章近似方法在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、变分法、半经典近似、绝热近似、自洽场理论、玻恩(Born)-奥本哈R(Oppenheimer)近似等。不同的近似方法有不同的适用范围。在本章中将先讨论分立谱的微扰理论、变分法和半经典近似，其他各种近似将在以后各章中讨论。由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于昨定态的两类。本

2、章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。最后再介绍半经典近似。5.1非简并定态微扰论近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。假定体系的哈密顿量H不显含t，能量的本征方程：H(5.1.1)满足下述条件:(1)H可分解为H。和H’两部分，HO厄米，而且H’远小于HOH=H0+H’(

3、5.1.2)H'<

4、的第n个能级En(o)的修正，就要求En(o)不简并，它相应的波函数只有一个。其他能级既可以是简并的，也可以是不简并的。(4)Ho的能级组成分立谱。或者严格点说，至少必须要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级En(o)处于分立谱内，En(o)是束缚态。在满足上述条件下，定态非简并微扰论的目的是从已知的Ho必须的本征值和本征函数近似求出H的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小参数,将H'写成H'，将H'的微小程度通过又的微小程度反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是H(5.1.5)将能级En和波函

5、数按展开;(5.1.6)(5.1.7)En(1)，En(2)，…，，…分别表示能级En和波函数的一级，二级，…修正。将(5.1.6)及(5.1.7)式代入(5.1.5)式后得(H0+H’)(+++…)=()()(5.1.8)比较(5.1.8)式两端f的同次幂，可得出各级近似下的方程式:H0=(H0-)=—(H’—)(5.1.9):(H0-)=—(H’—)+)(5.1.10)……零级近似显然就是无微扰时的定态薛定谔方程(5.1.4)式。同样，还可以列出准确到,,…等各级的近似方程式。1.一级微扰求一级微扰修正只需求

6、解(5.1.9)式。由于Ho厄米，Ho的本征函数系{}是正交、归一、完备、封闭系，可将一级修正波函数按{}系展开=(5.1.11)将(5.1.11)式代入(5.1.9)式得()=—(H-)(5.1.12)以求出（5.1.11）式的展开系数，以左乘(5.1.12)式并对空间积分后，利用{}系的正交归一性后，得(5.1.13)记(5.1.14)并将它代人(5.1.13)式，当n=k时，得E当nk时，得(5.1.16)注意(5.1.16)式只在nk时成立。对(5.1.11)式右端中的展开系数，还有an（1）要另外计算。

7、为此，利用的归一条件，在准确到O()数量级后，有1=又因波函数=1归一得(5.1.17)将(5.1.11)式代入(5.1.17)式后，得(5.1.18)(5-1.18)式表明，an（1）必为纯虚数，即=i为实数。准确到的一级近似，微扰后体系的波函数是===[+](5.1.20)(5.1.20)式表明的贡献无非是使波函数增加了一个无关重要的常数位相因子，不失普遍性，可取=i=0(5.1.21)因此，准确到一级近似，体系的能级和波函数是(5.1.22)+(5.1.23)(5.1.22)和(5.1.23)式表明，准确到

8、一级近似，H’在无微扰能量表象中的对角元给出能量的一级修正，非对角元给出波函数的一级修正。2.二级修正求二级修正需要求解(5.1.l0)式。与求一级修正的步骤相似，将二级修正波函数按{}展开(5.1.24)将(5.1.24)式代入(5.1.10)式后，有(5.1.25)以左乘(5.1.25)式，并对空间积分后得(5.1.26)当nk时，考虑到an（1）=0由(5.1.26