二次函数的图像和性质.ppt

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1、二次函数的图象和性质观察图象,回答问题p(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少?在同一坐标系中作出二次函数y=3x²和y=3(x-1)²的图象.知识回顾?二次函数y=-0.5x²,y=-0.5(x+1)2和y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?例3画出函数y=-0.5(x+1)²-1的图像,指出它的开口方向、对称轴及顶点,抛物线y=-0.5

2、x²经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5(x+1)²-1?思考:二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象可以看作是抛物线y=-0.5x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向下平移1个单位后得到的.二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象和抛物线y=-0.5x²,y=-0.5(x+1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样?y=-½(x+1)²-1y=-½x²y=-½(x+1)²对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.顶点是(-1,-1).开

3、口向下,当x=-1时y有最大值:且最大值是-1.在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?练习对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=-3x2类似.顶点分别是(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象

4、可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).yX=1与y=-3x²有关哟二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0

5、)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移

6、h

7、个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移

8、k

9、个单位(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点坐标是(h,k)。二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.顶点坐标与对称轴2.位置与开口方向3.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性

10、最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)(h,k)(h,k)直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表:yx例4要修建一个圆形喷水池,在池中心竖立安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线型柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水管应多长?点(1、3)是顶点,知道h=1,k=3,求出a就好啦!点(3、0

11、)在抛物线上,求a没问题。解:如图建立直角坐标系,点(1、3)是顶点,设抛物线的解析式为Y=a(x-1)²+3(0≤x≤3)点(3、0)在抛物线上,所以有0=a(3-1)²+3∴a=-¾∴y=-¾(x-1)²+3(0≤x≤3)当x=0时,y=2.25,即水管应长2.25m。1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:3.对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?

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