【随堂优化训练】2014年数学(人教a版)必修5配套课件：1.2.2 测量角度问题(数学备课大师网 为您整理).ppt

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1、1．2.2测量角度问题zxxk【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．zxxk1．复习仰角、俯角、方位角与方向角的含义(见前面章节)．2．坡角是指斜坡所在平面与________的夹角．坡度(坡比)是指__________________________________．坡面的垂直高度h和水平宽度l的比练习：沿坡角为45°的斜坡直线向上行走80m，实际升高了________m.水平面zxxk【问题探究】1．仰角、俯角、坡角都是锐角吗？答案：是．2．方位角与方向角的范围一样吗

2、？答案：不一样，方位角的取值范围为0°～360°，方向角一般指锐角．zxxk题型1船的航向问题【例1】如图1-2-12，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile)图1-2-12zxxk思维突破：首先求出AC边所对的角∠ABC，进而用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹

3、角∠CAB.zxxk≈0.3255，所以∠CAB≈19°，75°－∠CAB≈56°.答：此船应该沿北偏东56°的方向航行，需要航行113.15nmile.zxxk解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．zxxk【变式与拓展】1．如图1-2-13，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行．若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的

4、方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．图1-2-13zxxk解：(1)依题意，得∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.答：渔船甲的速度为14海里/时．zxxk(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，zxxk题型2解三角形与函数的综合【例2】在某海滨城市附近海面有一台风，据

5、监测，当前km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭时间有多少小时？zxxk图1-2-14zxxk解：设经过t小时台风中心移动到点Q时，台风边沿恰经过O城，由题意，可得OP＝300，PQ＝20t，OQ＝r(t)＝60＋10t.由余弦定理，得OQ2＝OP2＋PQ2－2·OP·PQ·cos∠OPQ，zxxk答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有12小时

6、．即t2－36t＋288＝0.解得t1＝12，t2＝24，t2－t1＝12.zxxk【变式与拓展】2．如图1-2-15，甲船在A处发现乙船在北偏东45°与A的距离为10海里的C处，正以20海里/时的速度向南偏东75°的方向，用多少时间才能与乙船相遇？图1-2-15zxxkzxxk∴∠BAC＝30°.∴甲船应沿北偏东75°方向航行．答：甲船应沿北偏东75°方向航行半小时后才能与乙船相遇．zxxkzxxk∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得∴∠B

7、CD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．zxxk【例3】某观测站C在A城的南偏西20°的方向，由A城出发的一条公路，走向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时CD的间距为21km，问：这个人还走多少千米到达A城？易错分析：本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，会得出两个根，产生了增根，应对其进行验证，若应用正弦定理来求解可避免这种情况．zxxk解：在△ACD中，已知CD＝21km，∠CAD＝60°，只需再求出一个量即可．如图

8、D3，设∠ACD＝α，∠CDB＝β.图D3在CBD中，由余弦定理，得zxxkzxxk[方法·规律·小结]1．测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题均可结合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解．在解决与测量问题有关的题目时，要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含