方程的根与函数的零点11.doc

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1、教学案例：《方程的根与函数的零点》东莞市第八高级中学蒋美衡【内容和内容解析】内容：教科书通过研究一元二次方程的根及相应函数图像与x轴交点的横坐标的关系，导出函数零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法。内容解析：函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在高一乃至整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。方程的根与函数的零点分别从不同的角度表述同一个问题，通过“方程f(x)=0有实数根”与“函数y=f(x)有零点”、“函数图像与x轴交点横坐标”的等价性，使得函数与方程从“数”与“形”的角度完全统一

2、。本节课从探究方程的根和函数的零点之间的关系入手，探索归纳出函数零点的存在条件。所以本节课重点是引导学生从联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法的内容，使学生体会知识间的联系，同时让学生提炼和体会到从特殊到一般的数学研究方法和数形结合的数学思想。【目标和目标解析】目标：1．理解函数零点的概念。2．理解函数零点与相应方程根的关系。3．通过探究图像掌握函数零点存在的判定条件．目标解析：1．通过探究具体的一元二次方程的根与相应二次函数图像的交点之间的关系，让学生对函数的零点有一个直观的认识。2．通过对零点存在定理的探究，培养学生综合分析问题的能力，让学生感受到数学的严谨，体会到由特殊

3、到一般的数学研究方法和数形结合思想在数学问题解决中的广泛应用。【教学问题诊断】1．学生对二次函数的图像已经比较熟悉，对函数和方程也有一定的了解，但是还不够清晰，特别是函数与方程之间的内在联系，图形在数学解题中的广泛应用理解不够。而且抽象概括问题的能力还不是很强。2．在函数零点概念的理解上学生可能会存在这样的两个问题：一是将零点误以为是一个点；二是对于一个方程相对应的函数学生在后面的学习过程中往往找不到。例如，对于方程，求其根所在的大致区间时,学生往往不懂得其相应的函数为，数学中转化或是化归的思想运用得不够好。3．对函数零点存在定理的条件的理解学生可能会比较模糊。例如，当一个条件改为时，学生往往

4、会直接认为就没有零点；或是，如果说函数在区间[a，b]上有零点，学生又往往会直接得出。即对函数零点存在定理的必要性和充分性理解不透彻，主要是因为学生的抽象思维能力和数形结合运用的不够好。4．针对以上情况，本节课的重点是函数零点概念的理解和函数零点存在性的确定。在此过程中着重渗透转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想和由特殊到一般的数学研究方法。【教学支持条件分析】多媒体技术的应用能够很好的帮助学生发现和分析问题。在零点存在条件的探究中，几何画板的支撑能够很好地、动态地展示区间变化过程，给学生以直观的认识，有利于学生发现其中的规律，同时突出图形在数学中的应用。【教学过程】一、创设情境：作出

5、二次函数的大致图像？〖设计意图〗由熟悉的二次函数入手，从已知探索未知，符合学生认知规律。并且可以使得新知识与原有知识形成联系。学生一边画图，教师巡视并一边提示：做二次函数的图像我们需要：判断开口方向，然后描出该函数的几个关键点：顶点、与坐标轴的交点，再用光滑的曲线连接起来就可以了。问题：函数与x轴的交点该怎样找到呢？预案：解方程。也就是解教师指出：方程与函数之间联系。即方程的根就是函数与x轴交点的横坐标。我们可以将方程称之为函数相对应的一元二次方程。反过来，该函数也可以称之为方程相对应的二次函数。即可以表示为：练习：(1)方程相对应的函数为与x轴的交点坐标为（2）方程相对应的函数为与x轴的交点

6、坐标为〖设计意图〗弄清楚函数与相应方程的关系，是函数与方程思想的铺垫。二、引导探究1．函数的零点定义：对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点．问题：函数的零点是我们通常说的点吗？〖设计意图〗加深对零点概念的理解2．函数零点的几何意义：【快速练习一】(1)二次函数当满足什么条件时有两个零点?一个零点?无零点?〖设计意图〗通过熟悉的二次函数来加深对零点的理解以及加强对数形相互转化的认识。(2)已知函数的图像如下，判断该函数是否有零点：④③②①(3)求下列函数的零点：〖设计意图〗让学生了解和熟悉零点的两种求解方法：图像法和代数法教师指出：从这组练习中，我们可以看到，并不是每一个函数都有零点，也并不是

7、所有的零点都在我们给定的区间内。所以：问题：对于一个函数，我们怎么知道它是否有符合给定条件的零点？预案：解方程求根或者画图找与x轴的交点。问题：我们能解任意一个方程和画出任意一个函数的图形吗？预案：不能。问题：那对于一个这样的函数或是方程时，该怎么办呢？〖设计意图〗制造认知冲突，寻求解决矛盾的方法。3．函数零点的存在定理请大家观察前面练习(1)当中的四个图像，我们来探索在区间(a，b)内存在零点的