抛物线及其标准方程 ppt.ppt

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1、2.4.1抛物线及其标准方程喷泉复习回顾:我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征:都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0<e<1(2)当e>1时,是双曲线;(1)当0

2、MF

3、=

4、MH

5、,点M的轨迹是什么?

6、探究?可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有

7、MF

8、=

9、MH

10、,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)M·Fl·e=1我们把这样的一条曲线叫做抛物线.M·Fl·e=1在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线

11、MF

12、=dd为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:解法一:以为轴,过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系(如下图所示),则定点设动点点,由抛物线定义得:化简得:.M(X,y).xyOFl二、标准方程的推导解法二:以定点为原点,过点垂直于的

13、直线为轴建立直角坐标系(如下图所示),则定点,的方程为设动点,由抛物线定义得化简得:二、标准方程的推导l解法三:以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方,整理得xKyoM(x,y)F二、标准方程的推导依题意得这就是所求的轨迹方程.三、标准方程把方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.且p的几何意义是:焦点坐标是准线方程为:想一想:坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单?﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)焦

14、点到准线的距离y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)P的意义:抛物线的焦点到准线的距离方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.四.四种抛物线的对比P66思考:二次函数的图像为什么是抛物线?当a>0时与当a<0时,结论都为:yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标及准线方程(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求抛物线的标准方程(3)已知抛

15、物线的准线方程为x=1,求抛物线的标准方程(4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程焦点F(,0)32准线:x=-32x2=-8yy2=-4xy2=x或x2=y4392看图看图看图课堂练习:1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3,0);(2)准线方程是x=;(3)焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)(5,0)x=-5(0,—)18y=-

16、—188x=—5(-—,0)58(0,-2)y=2例2:一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口(直径)为4.8m,深度为0.5m。建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标。解:如上图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合。设抛物线的标准方程是,由已知条件可得,点A的坐标是,代入方程,得即所以,所求抛物线的标准方程是,焦点的坐标是4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向.1.抛物线的定义:2.抛物线的标准方程有

17、四种不同的形式:每一对焦点和准线对应一种形式.3.p的几何意义是:焦点到准线的距离(2000.全国)过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于,两点,若线段与的长分别为,则等于()A.B.C.D.分析:抛物线的标准方程为,其焦点为.取特殊情况,即直线平行与轴,则,如图。故xyolF(0,-2)返回解:(2)因为焦点在y轴的负半轴上,并且p2=2,p=4,所以所求抛物线的标准方程是x2=-8y.xyolFX=1返回解:(3)因为准线方程是x=1,所以p=2,且焦点在x轴的负半轴上,所以所求抛物线的标准方程是y2=-4x.返回xyo(3,2)解:(4)因为(3,2)点在第

18、一象限,所以抛物线的开口方向只能是向右

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