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1、第十六章轴对称和中心对称16.2线段的垂直平分线(第2课时)在这里,我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等进行证明.那么反过来,到线段两个端点距离相等的点是否一定都在线段的垂直平分线上呢?问题思考已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几个?如果用三角板和刻度尺,你能画出至少三个吗?利用三角板、刻度尺作出线段的垂直平分线,在垂直平分线上取点,连接可得满足条件的等腰三角形..活动一:线段垂直平分线性质定理的逆定理与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?已知:如图所示,P是线段AB外一点,且PA=PB.求证
2、:点P在线段AB的垂直平分线上.证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.在ΔPOA和ΔPOB中,∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS)，∴∠POA=∠POB，∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.∴直线PO是线段AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上.O线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.[知识拓展](1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方法:一是根据定义去证明;二是根据“两点确
3、定一条直线”,证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.例题讲解已知:如图所示,在ΔABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P.求证:点P在BC的垂直平分线上.证明:如图所示,连接PA,PB,PC.∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线，∴PA=PB=PC，∴点P在BC的垂直平分线上.已知:如图所示,在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，垂足为O.求证:AO=OC,BO=OD.证明:因为AB=BC，CD=AD，所以点B，D均在线段AC的垂直平分线上，直线BD
4、是线段AC的垂直平分线，所以AO=OC，同理，BO=DO.【拓展延伸】三角形三边的垂直平分线交于一点.如图所示，证明思路：如果一个点到一条线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上(如图所示).符号语言:∵DA=DB,∴点D在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理).到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.课堂小结检测反馈1.如图所示，点D在ΔABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在()的垂直平分线上.A.ABB.ACC.BCD.不能确定解析:∵BC=BD+AD=BD+CD，∴AD=CD，∴点D在AC的垂
5、直平分线上.故选B.B2.直线l外有两点A,B,若要在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点能找到()A.0个B.1个C.无数个D.0个或1个或无数个解析:①当直线l垂直于直线AB且不平分线段AB时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有0个,②当直线l垂直平分线段AB时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有无数个,③当直线AB与直线l不垂直时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有1个.故选D.D解:是.理由如下:∵AB=AC，BM=CM，∴点A，M都在线段BC的垂直平分线上.根据“两点确定一
6、条直线”知直线AM是线段BC的垂直平分线.3.如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM是线段BC的垂直平分线吗?解析:根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”解答.选做题：如图，点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD，则点D在线段_______垂直平分线上.
