高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教A版.doc

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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义[A级　基础巩固]一、选择题1．在△ABC中，设＝a，＝b，且

2、a

3、＝2，

4、b

5、＝1，a·b＝－1，则

6、

7、＝(　　)A．1B.C.D.解析：因为

8、

9、＝

10、＋

11、，所以

12、

13、＝＝＝，选C.答案：C2．设向量a，b满足

14、a＋b

15、＝，

16、a－b

17、＝，则a·b＝(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．5解析：因为

18、a＋b

19、2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，

20、a－b

21、2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知

22、向量a，b满足

23、a

24、＝2，

25、b

26、＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.解析：

27、a－b

28、＝＝＝，设向量a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：A4．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形解析：因为＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形．答案：B5．若向量a与b的夹角为60°，

29、b

30、＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为(

31、　　)5A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．12解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝

32、a

33、2－

34、a

35、·

36、b

37、cos60°－6

38、b

39、2＝

40、a

41、2－2

42、a

43、－96＝－72，所以

44、a

45、2－2

46、a

47、－24＝0，所以

48、a

49、＝6.答案：C二、填空题6．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝，D是BC的中点，则在方向上的正射影数量是________．解析：如图所示，作向量＝，则与的夹角为∠ABE＝π－＝，所以在方向上的正射影的数量为

50、

51、·cos＝2×＝－.答案：－7．如图，在四边形ABCD中

52、，

53、

54、＝4，·＝12，E为AC的中点，若＝2，则·＝________．解析：因为

55、

56、＝4，E是AC的中点，所以AE＝CE＝2.·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－22＝12⇒2＝16⇒2＝4，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝4－4＝0.答案：08．已知

57、a

58、＝

59、b

60、＝

61、c

62、＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________．解析：因为3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.5又a·b＝

63、a

64、

65、b

66、cos60°＝

67、，所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.答案：－8或5三、解答题9．已知

68、a

69、＝1，

70、b

71、＝，(1)若a∥b且同向，求a·b；(2)若向量a·b的夹角为135°，求

72、a＋b

73、.解：(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°，此时a·b＝

74、a

75、

76、b

77、＝.(2)

78、a＋b

79、＝＝＝＝1.10．设向量a，b满足

80、a

81、＝

82、b

83、＝1，

84、3a－b

85、＝.(1)求

86、a＋3b

87、的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解：(1)由

88、3a－b

89、＝，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5.因为a2＝

90、a

91、2＝1，b2＝

92、

93、b2

94、＝1，所以9－6a·b＋1＝5.所以a·b＝.所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×＋9×1＝15.所以

95、a＋3b

96、＝.(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×－3×1＝.所以cosθ＝＝＝.因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝＝＝.所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为.5B级　能力提升1．点O是△ABC所在平面上一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)A．重心B．垂心C．内心D．外心解析：因为·＝·，所以·(－)＝

97、0，即·＝0,则⊥.同理⊥，⊥.所以O是△ABC的垂心．答案：B2．如图所示，△ABC中∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足＝3，则·＝________．解析：·＝·＝·＝(－)·＝＝4.答案：43．如图，在▱ABCD中，

98、

99、＝4，

100、

101、＝3，∠DAB＝60°，求：(1)·；(2)·；(3)·；(4)在方向上的正射影．5解：(1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°，所以·＝

102、

103、

104、

105、·cos0°＝3×3×1＝9.(2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，所以·＝

106、

107、

108、

109、·cos180°＝4×4×(－1)＝－

110、16.(3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·＝

111、

112、

113、·cos120°＝4×3×＝－6.(4)因为与的夹角为60°，而与方向相反，所以与的夹角为120°，所以在方向上的正射影为

114、

115、·cos120°＝4×＝－2.5