高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课堂导学案新人教a版必修4

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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课堂导学课堂导学1.平面向量数量积的概念【例1】已知

2、a

3、=5，

4、b

5、=4，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.解：（1）a·b=

6、a

7、

8、b

9、cos120°=5×4×

10、(-)=-10.（2）（a+b）2=a2+2a·b+b2=

11、a

12、2+2a·b+

13、b

14、2=25-2×10+16=21.(3)a2-b2=

15、a

16、2-

17、b

18、2=25-16=9.（4）（2a-b）·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2=2

19、a

20、2+5a·b-3

21、b

22、2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2,（a+b）·（a-b）

23、=a2-b2（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.【例2】已知a与b的夹角为30°，且

24、a

25、=,

26、b

27、=1,求向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦.思路分析：利用cosθ=确定p,q的夹角，必先求pq及

28、p

29、

30、q

31、，而求

32、p

33、及

34、q

35、利用模长公式

36、p

37、2=p2,

38、q

39、2=q2.解：∵

40、p

41、=

42、a+b

43、=,

44、q

45、=

46、a-b

47、=∴cosθ=.温馨提示（1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式

48、a

49、2=a2及cosθ=.（2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算

50、，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.2.平面向量数量积的应用【例3】已知

51、a

52、=4，

53、b

54、=3，a与b的夹角为120°，且c=a+2b，d=2a+kb，问当k取何实数时，（1）c⊥d;(2)c∥d思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90°，而两个向量的平行的条件是夹角为0°或180°；再由夹角公式求得所需条件.解：设c与d的夹角为θ，则由已知,得c·d=（a+2b）·（2a+kb）=2a2+（4+k）a·b+2kb2=2×42

55、+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k.

56、c

57、=

58、a+2b

59、==.

60、d

61、=

62、2a+kb

63、===∴cosθ=(1)要使c⊥d，只要cosθ=0,即6k+4=0,∴k=-.(2)要使c∥d,只需cosθ=±1,即=±(6k+4),解得k=4.综上，当k=-时，c⊥d;当k=4时，c∥d.温馨提示两向量平行，夹角为0°或180°,故有a·b=

64、a

65、

66、b

67、或a·b=-

68、a

69、

70、b

71、.而两向量垂直，夹角为90°,所以a·b=0,反之也成立.3.正确理解两向量夹角的定义【例4】Rt△ABC中，已

72、知

73、AB

74、=3，

75、BC

76、=3，

77、CA

78、=，求·+·+·的值.思路分析：只需求出向量与，与，与的夹角，利用数量积定义求解.解：∵∠A=∠C=45°,∴与夹角为135°,与夹角为135°,与夹角为90°.∴·+·+·=·+·=3×3·cos135°+3×3·cos135°=-18.温馨提示正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。各个击破类题演练1已知

79、a

80、=4，

81、b

82、=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b;(3)a与b的夹角为60°，分别求a·b.解：（1）当a∥b时，若a与b同

83、向，则它们的夹角θ=0°,a·b=

84、a

85、

86、b

87、cos0°=4×3×1=12;若a与b反向，则a与b的夹角θ=180°，a·b=

88、a

89、

90、b

91、cos180°=4×3×(-1)=-12.（2）当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b=

92、a

93、

94、b

95、cos90°=0,（3）当a与b的夹角θ=60°时.a·b=

96、a

97、

98、b

99、cos60°=4×3×=6.变式提升1设e1,e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1-e2）·（-3e1+2e2）等于（）A.-B.C.-8D.8解析：（2e1-e2）·(-3e1+2

100、e2)=-6e12+7e1·e2-2e22=-6

101、e1

102、2+7

103、e1

104、

105、e2

106、cos60°-2

107、e2

108、2=-6+-2=-.答案：A类题演练2已知

109、a

110、=2，

111、b

112、=1，a与b的夹角为，求向量a+b与a-2b的夹角的余弦.解：a·b=

113、a

114、

115、b

116、cos=2×1×=1.a2=4,b2=1.(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=4-1-2=1.

117、a+b

118、2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2+1=7.

119、a-2b

120、2=(a-2b)