高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义导学案新人教a版必修4

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1、2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．1．平面向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，我们把数量________叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角记法记作a·b，即a·b＝

2、a

3、

4、b

5、cosθ规定零向量与任一向量的数量积为____投影____________(

6、b

7、cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影几何意义数量积a·b等于

8、a的长度

9、a

10、与b在a的方向上的投影______________的乘积(1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．(2)向量b在a上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为

11、b

12、cosθ，它的符号取决于θ角的范围．(3)a·b也等于

13、b

14、与a在b的方向上的投影的乘积．其中a在b的方向上的投影与b在a的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】若向量a，b满足

15、a

16、＝

17、b

18、

19、＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　　)A.B.C．1＋D．2【做一做1－2】

20、a

21、＝2，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　)A．2B．120°C．－1D．由向量b的长度确定2．运算律交换律a·b＝________结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·________分配律(a＋b)·c＝________(1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bca＝c.但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·cDa＝c.(2)对于实数a，b，c有(ab)c＝a(bc)；但对于向量a

22、，b，c，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．【做一做2】有下列各式：①(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；②a·b＝

23、a

24、·

25、b

26、；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c；④(a·b)c＝a(b·c)．其中正确的个数为(　　)A．4B．3C．2D．13．向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，a与b的夹角为θ.垂直a⊥b________共线同向a·b＝________a·a＝a2＝

27、

28、a

29、2

30、a

31、＝反向a·b＝________绝对值

32、a·b

33、≤________符号a·b＞0θ∈________a·b＝0θ＝________a·b＜0θ∈________夹角公式cosθ＝(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；(3)a2－b2＝(a－b)·(a＋b)．【做一做3－1】在Rt△ABC中，∠A＝90°，则·＝__________.【做一做3－2】已知

34、a

35、＝7，则a·a＝__________.【做一做3－3】已知

36、a

37、＝8，

38、b

39、＝1，a·b＝8，则a与b的夹角θ＝_

40、_________.答案：1．

41、a

42、

43、b

44、cosθ　0　

45、a

46、cosθ　

47、b

48、cosθ【做一做1－1】A　a·b＝

49、a

50、

51、b

52、cos60°＝.【做一做1－2】C　

53、a

54、cos120°＝2cos120°＝－1.2．b·a　(λb)　a·c＋b·c【做一做2】C　①③正确．3．a·b＝0　

55、a

56、

57、b

58、　－

59、a

60、

61、b

62、　

63、a

64、

65、b

66、　　　【做一做3－1】0　·＝

67、

68、·

69、

70、cos∠A＝

71、

72、·

73、

74、cos90°＝0.【做一做3－2】49　a·a＝

75、a

76、2＝72＝49.【做一做3－3】0　cosθ＝＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.向量的

77、数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量a，b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不

78、能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b；在向量的数乘中，若λa＝0，则λ＝0或a＝0；在实数的乘法中，若ab＝0，则a＝0或b＝0.在向量的数量积中，a·