考研数学辅导材料.doc

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1、第一部分一元函数极限与连续一、一元函数的极限1.利用函数与其极限的关系(lim/(x)=A<=>f(x)=A+af其中Yima=0)2.利用等价无穷小代换思考题：设/(Q具有二阶导数,xtO=e3,试求/(O),广(0),八0)及3.利用夹逼准则思考题:(求周期函数的均值)设/(Q为定义在R上以T〉0为周期的连续函数，且fMclx=A,求证lim若/(X)=x-[x]f求lim丄fvf⑴dt.x—>+coXJ04•利用导数定义思考题：设g(x)满足gx)+sinxg(x)=cosx，且g(0)=0,

2、求lim'"._tt0x5•利用泰勒屮值公式思考题：求limmO+\-e~x-Vl-cosxJsin2x6•利用积分中值定理思考题：求lim丄「加~dx,其•!'/（X）是［0,1］上的连续函数，b>a>0.£T0+XX二、数列极限类型1至6同函数极限类型1思考题：已知/任）在X。处可导，｛匕｝、｛0」为趋于零的正数数列，求］讪/代+色）7（比-几）*力T8a”+0”7•利川定积分定义思考题：求lim,J〃2_]+J”2_?2+...+J〃2_（川_]）2"TOOM28.夹逼准则为定积分定义相结合.

3、2兀sinnrn+-2•H7lsin-nr/7+-n•71sin—思考题：求lim—+nfgn+19.利用数项级数的部分和思考题：证明lim”一＞00sin1i2sinnsin2存在.8.利用级数收敛的必要条件n思考题：求lim—.第二部分1・设函数/(%)=<■,2sin2x'0,处的连续性及可导性.一元函数微分学XH0,其中函数0处处连续.讨论/（X）在x=0x=0.2.求极限limx->0+…+enxnn为自然数.3.设厂丄，求才2001).X—4.设函数/(x)在区间［0川上可导，且/(0)

4、=0,/(I)=1,证明在区间［04J上存在两点x2,使5.已知函数/(Q在x=0的某个邻域内苗连续导数，且limx->()试求/(0)及f(0).6.设/(x)在［a,切二阶可导,/(a)=/(6)=0,fx)<4,求证:/（7.设函数/（工）满足方程3/（x）+4x2f=0,求函数/（工）的极人值和极小值.8.设fH(x)=C：cosx-C；cos2x+…+(-1)""C；cos"x,求证：1Ji⑴对于任何自然数刃,方程/；(%)=-在区间(0，一)中仅有-•根.227T17T⑵设xwg(0

5、,-)满足X(xJ=-,则limx„=-.2229.设/(x)在[0,1]±具有连续导数，且0v/r(x)

6、3dx.10.设o"为正实数，试证:第三部分一元函数积分学计算下列积分r21.设/(x)=求]/(兀-1)必・22.I(x+x)e"^dx3.下列结论中正确的是册都发散（a）r金与（為都收敛.（b）「爲与（c）「侖发散’（為收敛roodxx(x+1)收敛’［為发散.⑺为正整数）“?/r4.求定积分=Ix

7、sinx

8、6/Yph分5.求Q的值,使f(兀

9、+p)2Q07e(x+p)dx=O.Ja二.用倒代换计算dx(l+x2)(l+xa)三.设〃为自然数,计算积分人=fin(2〃+l)x-—drsinx四.设/⑴在区间(YO,+00)连续，F(X)二丄广7⑴d/(d>0),G(x)={/(/)dr,7/1*X—<1郭试解答下列问题:(1)用G(x)表示F(x);(2)求Fx);(3)求证：limF(x)=f(x);u->0(4)设/(x)在［x-a,x+a］内的最大值和最小值分别是M、加，求证：

10、F(x)-/(x)

11、sM-加.五.设F(x)是/(兀)

12、的一个原函数，冃.F(O)=1,F(x)/(x)=cos2x,求jIf(x)Idx.六.设f(x),g(x)在［0,1］上的导数连续，一几f(0)二0,广(X)no,g'(x)no.证明：对任何底［0,1］,有fgMfx)dx+打(x)g'⑴办>/(d)g(l)・ebrb£/(r)t/r=七.设f(0,g(0在冷，方］上连续，且满足fVg(/)<7r,%e［a,Z?),Ja证明：fxf{x)dx

13、线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分］(兀2九.过他标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.（1）求D的面积A;（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体枳V.I-.某建筑T程打地基时，需用汽锤将桩打进十层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成止比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下am