信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第4章-傅立叶分析《信号与系统》书稿-4-11.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§4-11广义傅立叶变换国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点周期信号的傅立叶变换周期信号傅立叶变换特点与功率谱密度计算内容安排4-11-1傅立叶变换的极限形式4-11-2周期信号的傅立叶变换4-11-3功率谱密度4-11-1傅立叶变换的极限形式常数的傅立叶变换可以通过傅立叶变换的极限形式计算，从而引入傅立叶变换的极限形式。首先考虑单位冲激函数的傅立叶变换。的定义式为根据定义，的傅立叶变换为当时，，故有因此可得（4-11-1）（4-11-2）（4-11-3）4-11-1傅立叶变换的极限形式换句话

2、说，的傅立叶变换对是下面对式（4-11-4）应用对偶性质，显然有或式（4-11-5）（或式（4-11-6））说明，常数1（等价于幅度为1的直流信号）的傅立叶变换等于频域面积为（或者1）的冲激函数。但是，直流信号没有一般意义上的傅立叶变换，因此我们称频率函数为直流信号的广义傅立叶变换。（4-11-6）（4-11-5）（4-11-4）4-11-1傅立叶变换的极限形式傅立叶变换的极限形式具有傅立叶变换的所有性质。另外，例4-10-19中给出的周期余弦和周期正弦函数的傅立叶变换也是广义变换问题。4-11-2周期信号的傅立叶变换在傅立叶级数的讨论中，任意一个满足狄

3、利赫里条件的实周期信号都可以用余弦（或正弦）的线性加权组合形式来建模。因此余弦信号的傅立叶变换自然就提示了周期信号的傅立叶变换应该具有什么样的形式。为了得到周期信号的傅立叶变换，现令x(t)是周期为T的周期信号，那么x(t)的复指数傅立叶级数展开就是式中为信号的基本角频率，如果对式（4-11-7）求傅立叶变换，即是傅立叶级数的系数。（4-11-7）（4-11-8）4-11-2周期信号的傅立叶变换因为，对上式利用频移性质可得所以，周期信号的傅立叶变换（或频谱）是在同理可得周期信号x(t)的f型傅立叶变换为如果与前面讨论的由周期信号的傅立叶级数定义的频谱概念

4、比较，可知公式（4-11-9）或（4-11-10）是根据计算任意周期信号的傅立叶变换来定义信号的频谱的；而根据周期信号的傅立叶级数理论，它的频谱是由作为频率函数的傅立叶级数的系数的幅度及相位组成。处的冲激序列。（4-11-10）（4-11-9）4-11-2周期信号的傅立叶变换所以，同样的周期信号的频谱既可以由它的傅立叶级数的系数得到，亦可以根据其傅立叶变换求出，只是后者的幅度谱中包含冲激。周期信号的傅立叶变换还可以表示成另外一种形式。为此首先定义一个生产函数（generatingfunction）g(t):其中为周期信号x(t)的基本周期。上式说明，在以

5、t=0为原点的一个周期内，生成函数g(t)等于x(t)，而在其它时间，g(t)=0。这样，周期信号x(t)就可以用一个具有时间延迟的生成函数g(t-kT)的无穷级数的和式来描述。（4-11-11）4-11-2周期信号的傅立叶变换即考虑到的卷积特性，即则式（4-11-12）又可以写成（4-11-13）（4-11-12）4-11-2周期信号的傅立叶变换式中是周期为T的沖激函数序列。它的傅立叶其中在积分区间（一个周期）内，只有m=0时，，因此可得级数展开为（4-11-14）（4-11-15）4-11-2周期信号的傅立叶变换将上式代入式（4-11-14），可得沖

6、激函数序列的傅立叶级现在对式（4-11-13）应用卷积定理，有注意，根据频移性质有，故上式为数展开为中的（4-11-16）4-11-2周期信号的傅立叶变换于是，周期信号x(t)的傅立叶变换就等于式中周期信号x(t)的傅立叶变换（或频谱）仅在频率为x(t)的基本频率的整数倍。是生产函数g(t)的傅立叶变换。可以看出，由于冲激函数的筛选特性，仅（4-11-17）（4-11-18）4-11-2周期信号的傅立叶变换即处不为零。因此，针对形如式（4-11-12）显然，周期信号的频谱是由无穷多个位于该信号谐波频率处的冲激函数构成，而这些脉冲的冲激强度则为生产函数g(

7、t)的频谱在该谐波频率处的值与周期信号基频道乘积。如果用周期信号x(t)的f型傅立叶变换描述，则其频谱函数为给出的任一周期信号，其频谱函数为（4-11-20）4-11-2周期信号的傅立叶变换综上所述，任意一个周期信号的傅立叶变换（或频谱）都有两种或表现形式，即（4-11-21）（4-11-22）4-11-3功率谱密度对于能量信号，斯瓦尔定理指出信号x(t)的总能量既可以在时域对进行积分计算，也可以在频域通过对的积分来获得。因此，就定义为信号若定义函数（这里用代替）满足傅立叶变换对则有对上式运用卷积、复共轭及时间反转性质，可得的能量谱密度。（4-11-23

8、）4-11-3功率谱密度其中最后一个积分式作了变量代换，因此上式可以写成式（4-