信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第4章-傅立叶分析《信号与系统》书稿-4-1.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§4-1三角函数系国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点三角函数系定义最小二乘拟合内容安排4-1-1三角函数系4-1-2用正弦函数进行最小二乘拟合4-1-1三角函数系周期性是函数的重要特性。三角函数系三角函数系是基础建模函数。在本书中，术语正弦曲线(sinusoid)是指正弦函数(sine)和余弦函数(cosine)。周期函数反映了客观世界中的周期运动。正弦函数四个参数：：表示曲线相对于横轴的高度：表示曲线波动的幅度：描述函数的周期特征：规定正弦曲线在水平方向的平移量4-1-1三

2、角函数系根据三角恒等运算：有：一般线性最小二乘模型形式4-1-1三角函数系式中：推理得到：同理可得：4-1-1三角函数系线性最小二乘模型的一般形式为：其中是n+1个基函数，e为模型与观测值之间的误差，即残差。若基函数选择为则上式若基函数选择为即则上式表示多项式模型表示线性回归模型4-1-1三角函数系4-1-2用正弦函数进行最小二乘拟合上式为线性最小二乘模型的特例其中：显然，上式的残差平方和:的取值应为最小。其中，N为数据点的总数。（4-1-8）（4-1-7）4-1-2用正弦函数进行最小二乘拟合为了确定式（4-1-8）中的系数和，分别对式（

3、4-1-8）和取偏微分，有：中的每个系数4-1-2用正弦函数进行最小二乘拟合令这些偏微分为零，整理后得到式（4-1-7）的正规方程组如下：4-1-2用正弦函数进行最小二乘拟合将该极小值问题，也即式（4-1-10）写成矩阵形式，注意到，有：（4-1-11）4-1-2用正弦函数进行最小二乘拟合（4-1-12）为方便起见，设有N个间隔为，且均匀分布的观测值，总的，则可以证明下列平均值：观测时间为4-1-2用正弦函数进行最小二乘拟合因此，对于均匀分布的点，正规方程简化为：由此可解得：（4-1-14）（4-1-13）4-1-2用正弦函数进行最小二乘

4、拟合或：（4-1-14）例4-1-1：设正弦曲线由函数建模，其中。表4-1-1给出该曲线在区间内等间隔。试用最小二乘法确定系数。生成的10个观测值，间隔4-1-2用正弦函数进行最小二乘拟合例4-1-1：tf(t)02.2002.2000.0000.151.5951.2910.9380.301.0310.3190.9800.450.722-0.2230.6870.600.786-0.6360.4620.751.200-1.2000.0000.901.805-1.460-1.0611.052.369-0.732-2.2531.202.6780

5、.829-2.5471.352.6142.114-1.53617.002.502-4.330本节例题解：根据式（4-1-15），可计算出因此，最小二乘法给出的拟合模型为另外，由式（4-1-4）和式（4-1-5）可求出本节例题故上式可改写成上述分析可以推广到一般线性最小二乘模型中。如果选择基函数，则任意函可以表示为基函数的线性加权组合，即数本节例题对于均匀分布数据，式中的系数由下列公式计算综上所述，从回归（即）意义上讲，上述方法显然可以用）等于数据点个数（即N）。特别要说明的是，连续时间傅立叶级数展开于数据的拟合或建模；另外，若应用于插值或

6、者配置（collocation）算法中，则它适用于未知数个数（即的情况，即就采用了这种思想。