信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第4章-傅立叶分析《信号与系统》书稿-4-8.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§4-8从傅立叶级数到傅立叶变换国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点傅立叶变换的定义绘制频谱图内容安排4-8-1从傅立叶级数到傅立叶变换的演变4-8-2傅立叶变换的物理意义4-8-3幅度谱和相位谱4-8从傅立叶级数到傅立叶变换到目前为止，我们已经介绍了周期信号傅里叶级数的三种形式，即三角函数型：余弦函数型：式中是周期信号的基本角频率。复指数型：（4-8-3）（4-8-2）（4-8-1）4-8从傅立叶级数到傅立叶变换在具体应用中，傅里叶级数的第一种形式，即式（4-8-1）给出的复指数

2、形式对于傅里叶技术的发展具有重要的理论意义。第二种形式，即具有实系数的傅里叶级数的三角形式展开（式（4-8-2））则更适合于计算一个给定周期的信号的傅里叶级数。至于第三种形式，也就是具有复系数的傅里叶级数的三角函数形式（式（4-8-3））适用于进行信号的谱分析（频域分析），因为从式（4-8-1）得出的复系数提供了关于信号频率与对应的信号幅度和相位的重要信息（信号线谱）。4-8从傅立叶级数到傅立叶变换除此之外，在求解由周期正弦波输入产生的系统的零状态响应中，公式（4-8-3）也起着关键的作用，因为式（4-8-3）基于如下事实：可以利用叠加原理来

3、求由周期输入产生的系统响应。傅立叶级数尽管可以用一组谐波函数的线性组合描述任何有限时间工程信号及无穷时间周期信号，但它却不能够对非周期无穷时间信号进行建模。本讲通过将傅立叶级数的思想应用于非周期信号，平滑地引入傅立叶变换的概念，拓展了信号分析的范围。4-8-1从傅立叶级数到傅立叶变换的演变傅立叶变换是为描述任意周期和非周期的无穷时间信号而引入的一种信号运算。这里周期信号和非周期信号的区别在于：周期信号每隔一个有限长时间T（称为基本周期）重复一次；而非周期信号则不存在这样的周期，使得信号在一有限时间内重复。如果假设一个任意周期信号的基本周期为T

4、且满足狄里赫里条件，则令该信号的基本周期，显然其波形在有限长时间区间内将不再重复，因而信号也就不具备周期性条件了。换句话说，非周期信号可以认为是无限长周期的信号。4-8-1从傅立叶级数到傅立叶变换的演变在讨论傅立叶变换的定义之前，首先考虑式（4-2-16）给出的复指数傅立叶级数的系数，为方便计，令，即对于上式，当k增大时，成谐波关系的各频率分量将不断变化。如果将频率增量定义为（4-8-5）（4-8-4）4-8-1从傅立叶级数到傅立叶变换的演变可以看出，由于基本频率是谱线间隔，故信号周期T增越小。当时，谱线间隔趋于一个频率的无穷小量，即另一方面

5、，随着周期，频率分量也由原先的离散频率变成了连续频率，即大时谱线间隔将减小，且T越大谱线间隔4-8-1从傅立叶级数到傅立叶变换的演变因此，在极限情况下式（4-8-4）可写成上式方括号中的积分运算是角频率的函数，定义为函数f(t)的傅立叶变换。（4-8-6）（4-8-7）4-8-1从傅立叶级数到傅立叶变换的演变进一步，将式（4-8-6）代入复指数型的傅立叶级数展开式由于时，频率分量将形成一个连续域，亦即，），则f(t)（4-8-1）中，则有从而傅立叶级数的求和也就变成了一个积分（又可写成（4-8-8）（4-8-9）4-8-1从傅立叶级数到傅立叶

6、变换的演变注意，式中用到了前面提到的关系式式（4-8-7）和式（4-8-9）分别称之为傅立叶（正）变换（Fouriertransform）和傅立叶逆变换（inverseFouriertransfor）两个公式统称为傅立叶变换对，一般成对给出如下（4-8-10）4-8-1从傅立叶级数到傅立叶变换的演变注意，式（4-8-10）是以角频率的形式定义傅立叶变换的，其特点是角频率（在一定程度上）与系统的时间常数和系统的谐振频率之间存在直接关系，因此应用该式定义某些系统函数的傅立叶变换在表现形式上更为简单。如果考虑到，则可以给出傅立叶变换的第二种定义形式

7、，即（4-8-11）4-8-1从傅立叶级数到傅立叶变换的演变与式（4-8-10）比较，式（4-8-11）是以频率f定义傅立叶变，优点是正变换和逆变换形式基本一致，具有很好的对称性，差别仅仅在于积分变量不同。一些教科书和专著，特别是通信、傅立叶光学和图像处理专业的文献，习惯于用频率f而不是角频率表示傅立叶变换。但这两种定义形式没有本质的区别，通过可以相互转换。4-8-2傅立叶变换的物理意义通常称信号x(t)为时域信号是指其自变量是时间t，称它的傅立叶变换或为频域信号则是因为它的自变量或f代表频率。频率f是时间的倒数（即），而角频率则与时间倒数成

8、正比（）。连续信号的傅立叶变换在数学、物理以及某些工程应用中，信号及其变换的自变量虽有可能不是时间和频率，但两者之间总是和对方的倒数存在正比关系。傅立叶正变换或（4