导数及其应用.doc

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1、大江中学2013届高三数学二轮复习讲义课题：导数及其应用（1）【考试要求】：求函数的导数；用导数判断或证明单调性，求函数的极值和最值、利用导数解决实际问题。导数的概念A级，导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值、导数在实际问题中的应用B级。【基础自测】：1、等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝。2、已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为。3、若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________．切线的斜率为________．4、若曲

2、线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．5、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点个【典例剖析】例1、已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．训练1：已知函数（）的图象为曲线．大江中学2013届高三数学二轮复习讲义（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出

3、符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．例２、设函数．（1）当k=2时，求函数f(x)的增区间；（2）当k＜0时，求函数g(x)=在区间（0，2]上的最小值．训练2：设．（1）令讨论F（x）在内的单调性并求极值；（2）求证：当x>1时，恒有．课题：导数及其应用（2）大江中学2013届高三数学二轮复习讲义例1、设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．解析：(1)若a＝0，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当

4、x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知，ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立，故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x.从而当1－2a≥0，即a≤1/2时，f′(x)≥0(x≥0)．∴f(x)在[0，＋∞)上单调增加．而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex＞1＋x(x≠0)，可得e－x＞1－x(x≠0)．从而当a＞1/2时，f′(x)＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，令e－x(ex－1)(

5、ex－2a)＜0，得1＜ex＜2a，∴0＜x＜ln2a.故当x∈(0，ln2a)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0,2ln2a)上单调减少．而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)＜0.不符合要求．综上，可得a的取值范围是(－∞，1/2]例2、已知．(1)求函数在上的最小值；大江中学2013届高三数学二轮复习讲义(2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明:对一切，都有成立．训练1：设（e为自然对数的底数）（1）求p与q的关系；（2）若在其定义域内为增函数，求p的取值范围；（3）证明：①；②（n∈N，n≥2）大江中学

6、2013届高三数学二轮复习讲义【当堂反馈】1、已知函数f(x)的导函数f′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝________.2、若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是。3、当时，恒成立，则实数m的取值范围是______．【课后练习】1．已知曲线处切线的倾斜角为________________.2．函数在区间上的最小值是3．已知直线与曲线有公共点，则的取值范围是。4．在上，函数与在同一点取得相同的最小值，那么在上

7、的最大值是_______________.5．已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围.。6．已知是R上的奇函数，在上有，且，则的解集为。7．设函数R.若上为增函数，求a的取值范围.8．已知，（），直线与函数、大江中学2013届高三数学二轮复习讲义的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．则=_______________.9．已知函数上为增函数.（1）求k的取值范围；（2）若函数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.10、设函数，已知和为的极值点．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）讨论的单调性；（Ⅲ）设，试比较与的大小．大江中学2013届

8、高三数学二轮复习讲义【备用题】已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.（I）求、的表达式；（II）求证:当时,方程有唯一解；(III）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.