工程数学复变函数ppt课件.ppt

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1、复变函数1第一章复数与复变函数§1复数及代数运算21.复数的概念在实数范围,方程x2=-1是无解的.因此引进一个新数i,称为虚数单位,并规定i2=-1从而i是方程x2=-1的一个根.对于任意二实数x,y,称z=x+iy或z=x+yi为复数,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)3当x=0,y0时,z=iy称为纯虚数;当y=0时z=x+0i,将其看作是实数x.两个复数相等,是指的它的实部和虚部分别相等.复数z=0,是指的实部和虚部都是0.2.复数的代数运算两个复数z1=x1+iy1,z2

2、=x2+iy2的加法,减法和乘法定义为(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2)(1.1.1)(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)(1.1.2)称上面二式右端为z1,z2的和,差与积当z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致.4称满足z2z=z1(z20)的复数z=x+iy为z1除以z2的商,复数运算满足交换律,结合律和分配律:z1+z2=z2+z1,z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3),z1(z2z3

3、)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.5把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z6§2复数的几何表示1.复平面由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定,所以对于平面上的直角坐标系,复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系,从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标为(x,y)的点来表示,这是复数的一个常用表示方法.此时,x轴称为实轴,y轴称为虚轴,两轴所在的平面称为复平面或z平面.这样,复数与复平面上的点成一一对应,并且把"点z"作为"

4、数z"的同义词,从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题.7在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示.向量的长度称为z的模或绝对值,记作OxyxyqPz=x+iy

5、z

6、=r8显然,下列各式成立OxyxyqPz=x+iy

7、z

8、=r9在z0的情况,以正实轴为始边,以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的轴角,记作Argz=q这时,有OxyxyqPz=x+iy

9、z

10、=r10任何一个复数z0有无穷多个幅角,如果q1是其中的一个,则Argz=q1+2

11、kp(k为任意整数)(1.2.3)给出了z的全部幅角,在z(0)的幅角中,将满足-p

12、z

13、=r11当z=0时,

14、z

15、=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:12由复数运算法则,两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致.Oxyz1z2z1+z2成立不等式

16、z1+z2

17、

18、z1

19、+

20、z2

21、(三角不等式),(1.2.5)13减法:Oxyz1z2z1-z2-z2

22、z1-z2

23、

24、

25、z1

26、-

27、z2

28、

29、(1.2.6)14一对共

30、轭复数z和z在复平面内的位置是关于实数轴对称的,因而

31、z

32、=

33、z

34、,如果z不在负实轴和原点上,还有argz=-argzOxy15利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcosq,y=rsinq,可以将z表示成三角表示式:z=r(cosq+sinq),(1.2.7)利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:z=reiq(1.2.8)OxyxyqPz=x+iy

35、z

36、=r162.复球面NSOxyPz17除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.取一个与复平面切于原点z=0的球面,球面上的一点S与

37、原点重合.通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N.称N为北极,S为南极.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.18关于的四则运算作如下规定:加法:a+=+a=(a)减法:a-=-a=(a)乘法:a=a=(a0)19§3复数的乘幂与方根20乘积与商设有两个复数z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isin

38、q2),z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)=r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]于是

39、z1z2

40、=

41、z1

42、

43、z2

44、(1.3.1)Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,(1.3