概率论与数理统计总复习.doc

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1、《概率论与数理统计》总复习----用4道题说《概率论与数理统计》安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌1.一元离散型随机变量例1.设X的分布律为X-1012P(X=xk)0.20.10.3a(1)求常数a;(2)求P{

2、X

3、≤1};(3)求条件概率P{X=2

4、X>0};(4)求分布函数F(x),并画出图形;(5)求E(X),D(X);(6)令Y=X2,求Y的分布律;(7)求COV(X,Y);(8)令,求Z的分布律;(9)求的联合分布律;(10)求;(11)在总体Z中抽取容量为300的样本,求。解:(1)(这是要

5、求同学掌握分布律的完备性)因为0.2+0.1+0.3+a=1,所以a=0.4(2)(这是要求同学在已知分布律的情况下,掌握概率的求法!!,对离散型通常用列举法!)P{

6、X

7、≤1}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6(3)(这是要求同学在已知分布律的情况下,还要掌握条件概率公式,列举法!)条件概率(4)由分布函数的公式可得是右连续的,其图形呈阶梯状的形式,在处有跳跃,其跃跃高度为在处的概率。(5)(这是要求同学掌握期望与方差的计算!!)所以(6)(这是要求同学掌握已知X的

8、分布律,求其函数的分布律!!列举法)当X取-1,0,1,2时,由于,所以的所有可能取值为0,1,4,且;;,所以的分布律为0140.10.50.4(7)(这是要求同学们掌握协方差的定义与简化计算公式!!)因为,所以而所以协方差大于零,说明Y与X正相关!!(8)(这是要求同学们掌握概率计算的转化技巧,相同事件有相等的概率!!)因为,所以这说明Z服从p=0.7的0-1分布。(9)(这是要求同学们掌握联合分布律的求法,一般列表列举!!)Y的全部取值为0,1,4;Z的全部取值为0,1,列表如下YZ014P.j00.1

9、0.200.3100.30.40.7Pi.0.10.50.4因为(10)(这是要求同学们掌握相关系数的概念与公式!!,Y,Z及其联合分布律已知,求相关系数!!)因为所以(11)(这是要求同学们掌握中心极限定理!!)因为Z是0-1分布,是样本,所以由二项分布的可加性,,所以,由隶美弗—拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理第一题解完!!2.一元连续型随机变量例2设X的密度函数为,(1)求常数A,(2)当时,求;(3)当时,求常数c,使;(4)求分布函数;(5)求的密度函数;(6)设取自X的样本的观测值

10、为0.30.20.40.60.5,求q的矩估计与最大似然估计。解:(1)由完备性,这里必须A>0,且,所以,,所以X的密度函数为(2)当时,。(3)当时,因为,所以,又,所以。(4)由于概率密度函数是分段函数,所以分段求出分布函数的表示式,当时,;当时,;当时,,故X的分布函数为显然是连续函数。(5)(公式法求密度函数)因为的反函数是,所以的密度函数为(6)(先求矩估计量)由于总体一阶矩由矩法,令,即解q的一元方程得矩估计(量),。又样本的观测值为0.30.20.40.60.5,则,所以q的矩估计(值)为。(

11、再求矩估计量)样本的似然函数为取对数求导得似然方程,所以,q的最大似然估计为当样本的观测值为0.30.20.40.60.5,q的最大似然估计第二题解完成。3.二元离散型随机变量例3.设(X,Y)的联合分布律如下表:XY1230121/92/9A01/92/9001/95/93/91/91/93/95/91(1)求常数A;(2)求边缘分布律,计算D(X),D(Y),并指出X与Y是否独立;(3)求P{X>Y};(4)Z=X+Y的分布律;(5)求D(Z);(6)求。解:(1)由概率的完备性,1/9+2/9+A+0+

12、1/9+2/9+1/9=1,所以A=2/9。(2)求边缘分布律见联合分布表,即X123Y012p1/93/95/9p5/93/91/9由于所以X与Y不独立。(3)(列举法!,按Y的取值列举!!)(4)由于X的取值为1,2,3;Y的取值为0,1,2;所以Z的取值为1,2,3,4,5,且即Z12345p1/92/93/92/91/9(5)(虽然只求D(Z),但要计算D(X),D(Y)以及COV(X,Y)!!)(方法一)用Z的分布律求D(Z),(方法二)用公式D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X

13、,Y),因为所以(6)因为所以解毕。4.二元连续型随机变量例4.随机变量的密度函数为,(1)求;(2)求概率;(3)条件概率密度;(4);(5)的分布密度;(6)已X为总体,写出取自该总体的样本联合分布函数。图1图2图3图4解:(1)密度函数的非零定义区域如图1所示,所以由边缘密度函数计算公式(2)如图2,概率如图3,概率(3)当x>0时,当y>0时,(4)(5)如图4所示,分两种情况求Z的分布函数

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