重庆大学《数字电子技术基础》逻辑代数.ppt

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1、第3章逻辑代数3.1逻辑代数的基本定律3.2逻辑运算的基本规则3.3逻辑函数的代数法化简3.4逻辑函数的卡诺图化简3.5具有无关项的逻辑函数化简3.1逻辑代数的基本定律1.基本、复合逻辑运算和逻辑运算顺序1与：2或：3非：1.单个逻辑变量的非运算“-”，如2.逻辑与“·”；3.异或“⊕”、同或“⊙”；4.逻辑或“+”。基本逻辑运算常用复合逻辑运算运算顺序1.与非：2.或非：3.异或：4.同或：Y=A⊙B5.与或非；6.使用括号“（）”可改变运算顺序。5.表达式的非运算“-”，如与或非中的表达式AB+CD。逻辑表达式：逻辑常量及逻辑变量之间的逻辑运算式称为

2、逻辑表达式。如果2个逻辑表达式恒等，则构成逻辑恒等式。逻辑代数的基本定理常用恒等式表达。2.逻辑代数基本定理53序号名称恒等式01自等律A+0=AA·1=A20-1律A+1=1A·0=0重叠律A+A=AA·A=A4互补律吸收律A+AB=AA(A+B)=A6交换律A+B=B+AAB=BA7结合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)8分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)9反演律10非非律证明方法：枚举法----按基本逻辑运算（与、或、非）的定义列出真值表进行逻辑运算。例3.1证明反演律（亦称为摩根定理）。证明：将变量

3、的各种取值组合分别代入等式的左边和右边进行计算，列出真值表。AB00011011111011103.常用恒等式1吸收式1A+AB=AA（A+B）=A吸收式223合并式配项式1456名称恒等式证明常用恒等式的方法：用基本定理导出或枚举法证明：例3.2证明合并式：。证明：例3.2-1证明吸收式：。注意1：由于逻辑代数中没有逻辑减法及逻辑除法，故初等代数中的移项规则（移加作减，移乘作除）这里不适用。注意2:定理和恒等式反映的是逻辑关系,不是数量之间的关系。例3.3证明配项式：。证明：end3.2逻辑运算的基本规则1.代入规则在任何一个逻辑等式中，用一个逻辑函数

4、代替等式两边的某一逻辑变量后，新的等式仍然成立，这个规则称为代入规则。例3.4在中，用BC代替等式两边的B，求新等式。代入规则将逻辑代数的基本定理和常用恒等式推广到多变量的情况。解：得2.反演规则在任何一个逻辑函数Y中，同时进行下述3种变换（称为反演变换）后产生的新函数就是原函数Y的反函数：注意：不属于单个变量上的反号应该保留，并保持原表达式中变量间的运算顺序[添加括号（）]。解：解：例3.5已知，求例3.6已知Y=A+0·1，求。(1)所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”；(3)所有的原变量换成反变量，反变量换成原变量。(2)所有的“0”换成“1”

5、，“1”换成“0”；3.对偶规则注意：必须保持原表达式中变量间的运算顺序。对偶式：在一个逻辑表达式Y中，同时进行下述变换后产生的新表达式称为原式Y的对偶式Y’:（1）所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”；（2）所有的“0”换成“1”，“1”换成“0”例如，对偶规则使要证明和要记忆的公式减少了一半。表3.1-2和表3.1-4同一行的等式，互为对偶式。对偶规则：任意一个恒等式两边同时作对偶变换导出仍然成立的对偶恒等式。例如，A(B+C)=AB+AC→A+BC=(A+B)(A+C)end3.3逻辑函数的代数法化简1.最简的标准逻辑函数的表达式可以等效变换为

6、5种形式。例如：同一种类型的表达式中，形式有不同，但最简的形式是唯一的。（1）乘积项的个数最少；最简与或表达式的标准：（2）在满足（1）的条件下，每个乘积项中变量的个数最少。代数法化简，亦称为公式法化简，就是用逻辑代数的定理和恒等式，对逻辑函数进行化简，求最简与或表达式。2.代数法化简(1)并项法利用，将两项合并为一项，并消去一个变量。例如：(2)吸收法利用A+AB=A,消去AB项。例如：(3)消项法利用，消去BC项。例如：(4)消因法利用，消去因子。例如：如果两项分别包含A和，而其余的因子相乘为第3项，则第3项是多余的。如果一项的反是另一项的因子，则此

7、因子是多余的。(5)配项法（1）利用，配项化简代数法化简逻辑函数时，必须综合使用上述技巧、逻辑代数定理和恒等式，才能有效地化简逻辑函数。（2）利用，配项化简end3.4逻辑函数的卡诺图化简3.4.1逻辑函数的标准表达式3.4.2逻辑函数的卡诺图3.4.3逻辑函数的卡诺图化简卡诺图法化简的理论基础：标准表达式、最小项和最大项。代数法可以化简任意的逻辑函数，但是否达到最简却较难判断。卡诺图法可以直观、简便地得到最简逻辑表达式。3.4.1逻辑函数标准表达式1.标准与或式每个乘积项都包含函数的全部变量的特殊与或式称为标准与或表达式。最小项：标准与或式中每一个乘积

8、项都包含函数Y的全部变量，每个变量以原变量或反变量因子仅出现一次。最小项标准式：