闭区间上连续函数的性质ppt课件.ppt

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1、第十节一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理*三、一致连续性闭区间上连续函数的性质第一章1学习指导１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。２．基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用。3．注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．2如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续,在左端点a右连续,

2、那么函数f(x)就是在闭区间[a,b]上连续的。3并非任何函数都有最大值和最小值例如，函数f(x)=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值应注意的问题:一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)4例如,5说明:定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值又至少有一点x2[ab]使f(x2

3、)是f(x)在[ab]上的最小值至少有一点x1[ab]使f(x1)是f(x)在[ab]上的最大值定理说明如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续那么6应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值例如函数f(x)=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值7又如如下函数在闭区间[02]内既无最大值又无最小值应注意的问题:如果函数仅在开区间内连

4、续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值8定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证明设函数f(x)在闭区间[ab]上连续根据定理1存在f(x)在区间[ab]上的最大值M和最小值m使任一x[ab]满足mf(x)M上式表明f(x)在[ab]上有上界M和下界m因此函数f(x)在[ab]上有界定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能

5、取得它的最大值和最小值9有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.10二、零点定理与介值定理注:如果x0使f(x0)=0则x0称为函数f(x)的零点定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号即f(a).f(b)<0，那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=011例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根证明设f(x)=x3-4

6、x2+1则f(x)在闭区间[01]上连续并且f(0)=1>0f(1)=-2<0根据零点定理在(01)内至少有一点x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号即f(a).f(b)<0,那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=012定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(

7、a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号即f(a).f(b)<0,那么在开区间(ab)内至少存在一点x使f(x)=013二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点x使f(x)=0推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值定理4(介值定理)设函

8、数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C14证MBCAm15由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.几何解释:16例2证由零点定理,17三、一致连续性定理5(一致连续性定理)如