蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第16章拍卖).doc

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2、情形下，最高价密封拍卖的对称均衡叫价是的严格单增函数。证明：由可得：因此，是的严格单增函数。3．有两个竞标者参加一次拍卖，他们对标的物的私人估价相互独立，且都是上的均匀分布。（1）在英式拍卖下，计算竞标者在获胜时的条件期望成本。（2）假定拍卖开始前拍卖者宣布了一个价格水平，竞标者可以在英式拍卖过程中随时叫停拍卖过程并以价格买走标的物。考虑这样一个均衡：估价的竞标者在价格升至时叫停拍卖并接受价格，其中。计算获胜时竞标者的条件期望成本。（3）在竞标者风险中立的条件下，单纯的英式拍卖与（2）中描述的拍卖所产生的期望收益是否一致？（4）如果竞标者是风险

3、厌恶的，比较两种拍卖的期望收益大小。解：（1）在英式拍卖下，每个竞标者都以自己的真实估价来叫价，所以，竞标者在获胜情况下支付的期望成本，就等于另一个投标者的估价小于条件下的期望值，由于是均匀分布，所以竞标者在获胜时的条件期望成本就为。（2）竞标者获胜有两种可能情况：第一种是对方估价，此时支付；第二种是，此时支付。因此，获胜条件下的期望成本为：解得其结果为。（3）在（2）的特殊拍卖中，由于叫停价格满足，估价较高者会较早达到他的叫停价格。这表明，拍卖者预先公布固定买价的行为并没有破坏“估价高者购得标的物”的原则，因此，收益等值定理成立，这一拍卖与单

4、纯的英式拍卖产生的期望收益相等。（4）假定竞标者是风险厌恶的，这并不会改变英式拍卖中竞标者以估价叫价的战略。在（2）所描述的拍卖中，由于设定了固定买价，竞标者将会产生以较高的固定支出来回避风险的倾向。换言之，风险厌恶竞标者的叫停价格将比风险中立者的叫停价格水平低。极端情况下，如果某一竞标者的，而且他的风险厌恶程度足够高，他甚至会一上来就宣称愿意以的价格买走标的。竞标者这种较为激进的叫价战略对拍卖者来说当然是福音，会给拍卖者带来更高的期望收益。4．假定参与拍卖的个竞标者估价相互独立，而且同为上的均匀分布。（1）在英式拍卖下，计算竞标者在获胜时的条

5、件期望成本；（2）利用上一小题的结果，推导通吃拍卖（all-payauction）中竞标者的均衡叫价。解：（1）竞标者获胜时的期望成本等于其他竞标者的估价都小于条件时的期望最大值，由于是均匀分布，竞标者在获胜时的条件期望成本就等于。（2）在英式拍卖下，竞标者获胜的概率为：从而他的期望支出为：根据收益等值定理，这同时也是通吃拍卖中竞标者的期望支出，从而也是他的均衡叫价。5．两个竞标者的估价以相同的概率取0或1，但相互独立。拍卖规则是：先出拍卖者公布一个价格，然后这两个竞标者同时决定自己是否接受该价格。若有一个竞标者接受，他以价格获得标的；若两人同

6、时接受，抛币决定获胜者，获胜者付；若双方同时不接受，拍卖者无偿放弃标的物。由两个竞标者抛币决定其归谁。（1）证明：只要，便存在一个均衡，估价为1的竞标者总是选择“接受”；（2）在不同价格下，拍卖产生的期望收益不相等。为什么收益等值定理在这里不成立？解：（1）对于一个估价为0的竞标者，对任何价格，他的均衡最优战略都是拒绝，因为他的估价不超过。对于一个估价为1的竞标者，他在两种战略下所得的支付分别为（给定估价为1的对手选择“接受”）：拒绝：接受：所以说估价为1的竞标者选择“接受”构成一个对称均衡。（2）在此拍卖规则下，一个估价为0的竞标者所得的均衡

7、期望支付显然不为零（事实上它等于1/4），这不符合收益等值定理的第二个条件。6．比较次高价密封拍卖与通吃拍卖中竞标者的均衡叫价，并由此解释为什么在这两种拍卖中拍卖者获得的期望收益是相同的。解：对于一个估价为的竞标者，次高价密封拍卖中的均衡叫价为；根据（16.34），在通吃拍卖中，他的均衡叫价为：将上式右端分子分母同乘以，得：即每个人都以自己获胜情况下其他人最高估价的条件期望值，乘以自己获胜的概率来叫价。由于通吃拍卖规则，这同时也是每个竞标者的期望支出。显然，这与次高价拍卖中竞标者的期望支出是完全一致的，因此，两种拍卖下拍卖者所得的期望收益也必然

8、相等。7．考虑有两个竞标者参加的这样一种“次高价通吃拍卖”规则：每个竞标者密封地呈交自己的叫价，叫价最高者获得标的，但只需付次高价格；同时，其余的输家