蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第3章 成本最小化)

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2、求条件要素需求函数和成本函数；（2）画出成本函数曲线。解：（1）在Leontief生产函数中，产量仅是和中较小的一个值，所以，无论是利润最大化或者是成本最小化问题，厂商的最优投入必然满足。在此约束下，生产函数可以简单地写为（当然也可以写为）。从而，对于预先给定的产量，条件要素需求是：，成本函数：。（2）厂商的成本函数如图3-1所示。图3-12．某厂商具有线性生产函数：，。（1）求条件要素需求函数和成本函数；（2）画出成本函数曲线。985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经

3、济学历年考研真题及详解Borntowin经济学考研交流群<<<点击加入解：（1）成本最小化问题是：①若，条件要素为，成本函数是；②若，条件要素为，成本函数是；③若，最优解可取线段上任一点，在此不妨取，所得的成本函数形式上与①中一致，取另一端点可得②中的成本函数形式。但是在这里的条件下，这二者是等价的。（2）图略。3．某厂商具有Cobb-Douglas生产函数：，，。证明其成本函数形式为，其中是依赖于和的常数。证明：成本最小化问题是：构造拉格朗日函数成本最小化的一阶必要条件为：变形为：两式相乘得：

4、从而：985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Borntowin经济学考研交流群<<<点击加入其中是依赖于和的常数。代入一阶条件，并利用约束等式，得到：从而，。4．证明成本函数的性质：（1）是和的单增函数；（2）是的一次齐次函数。证明：（1）任取，记必要投入集，按定义：只要生产函数是单调的，对任何，必然有，所以。（2）记要素价格为时的条件要素需求函数为，它满足一阶必要条件：等式右边分式的分子分母同乘以正数等式仍然成立，说明在价格下，条件要素需求仍然

5、是。所以，。5．证明：如果生产函数是凹函数，则成本函数是的凸函数。证明：对任何产量和，记相应成本最小化问题的解（也就是条件要素需求）分别是和，按定义：，，对任何，记。由生产函数的凹性得，，这意味着985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Borntowin经济学考研交流群<<<点击加入足以生产产量，所以：即是产量的凸函数。6．证明：对于位似生产函数，规模收益弹性与成本的产量弹性存在关系：。证明：考虑位似生产函数：这里，是一次齐次函数。根据1.4节的推

6、导，规模收益函数为：如果为产出为时的条件要素需求，它必需满足一阶条件：其中第二个等式用到了拉格朗日系数的意义：。上式两边同乘以并对加总，得到。由于是一次齐次函数，由欧拉定理有：代入的右端，等式左端即为产出的成本，这就得到：根据成本的产量弹性定义，有：7．考虑一个两工厂厂商，其工厂的成本函数分别为和985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Borntowin经济学考研交流群<<<点击加入（1）什么条件下厂商只使用一个工厂？什么条件下厂商需要两个工厂同时

7、生产？（2）推导厂商的成本函数。解：，。（1）如果厂商同时使用两个工厂，应当满足；但是，注意到，而当时，。所以，当时，厂商只会选择在工厂1生产；当且仅当时，厂商才会同时使用两个工厂。（2）在同时使用两个工厂的情况下，厂商的产量分配满足，由此解得：，此时总成本为：成本函数为：8．假设一个竞争厂商的成本函数是。（1）参数、和需要满足什么条件，才是一个典型的成本函数？（2）求条件要素需求函数。解：（1）根据成本函数的性质，典型的成本函数应当是和的单增函数，是的一次齐次函数，同时还是的凹函数。据此，必然

8、要求，。在这两个条件下，=为凹函数的条件自动成立（可检查海赛矩阵主子式的符号确为正负相间）。（2）在成本函数已知的条件下，根据Shephard引理可以求出条件要素需求：，9．一个厂商有两个工厂，这两个工厂的成本函数是相同的985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→经济学历年考研真题及详解Borntowin经济学考研交流群<<<点击加入但如果厂商只在一个工厂生产，另一个工厂的固定成本是可以避免的，即是说。（1）成本最小条件（3.28）是否一定成立？为什么？（2）在和两种情况下