张晓星 2009 应用数学.doc

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1、林场采伐方案设计摘要：本文对樟树的生长规律和樟树的市场价格做出合理假设，先建立单株樟树的收益函数，通过分析函数，得到最佳砍伐时间，然后建立林场的收益模型，在相同的时间段内考察林场在不同的采伐周期下的收益，且通过搜索方法，得出最佳砍伐周期以及等级划分方案，并得出初始状态的分布。即：使得当该林场的樟树分布等级处于初始状态时开始计时，经过一个砍伐周期后再次对樟树进行砍伐出售，不仅能使林场的长远利润达到最大，又能使林场能恢复到该初始状态，使林场能可持续发展。问题分析：林场要获得可持发展且实现最大经济效益，那么要了解树木的生长规律以及树木的市场价格规律，根据樟树的生长规律和樟树的市场价格规律，决定林

2、场在什么时候砍伐樟树、砍伐那等级的樟树及每次的砍伐量，不仅能使林场获得最大的经济效益又能维持林场的存在，使林场得到最大经济利润条件下有能可持续发展。问题的重述：考虑一座林场，种有香樟树，其中树木按高度划分成不同的等级，当这些树木被采伐出售时，不同的等级有不同的经济价值。取某一适合的时间作为初始时刻，此时所有的树木，给出一个分布，称之为初始分布。经过一个生长周期后，树木按高度的分布不同了，然而为了使林场能持续存在，经过采伐与栽种，树木的高度恢复成原来的初始分布。建立模型得到既不破坏森林资源，又能给出最优收益的方案。模型假设：（1）假设该林场内的每一棵樟树的生长都服从Logistic规律，且樟

3、树的最大成才量为，樟树的固有成才率为r，那么依Logistic生长规律，每棵樟树的成材量与时间t的关系如下：（1）表示樟树最初种植木材量。（2）假设该林场的樟树数量较大，不集中出现在某几个高度，而是每个高度都有相当数量的樟树存在，且每一种树木的成材量与其高度服从线性关系：（2）为树木成材量，a1,a2为常数（3）假设樟树的市场价格与树木的高度服从指数增长规律：（3）h为该樟树高度k1,k2,k3是常数建立模型及解答：（1）建立林场任意一棵健康樟树的利润模型，即该樟树一定能成长到出售时为止。砍伐时得到的利润：（4）其中：通过分离变量法解出微分方程得到：（5）为单株樟树种植和砍伐的成本为樟树在

4、t时刻对应高度的市场价格。然而由于树木的生长周期比较长，所以要考虑货币的贴现问题，记货币的贴现率为R，那么砍伐时得到的利润贴现到现在记为：（6）对求导得到一阶导数：二阶导数：要得到的最大值，由上知只须满足解之得t=b（b一定存在）即：当t=b时，单株樟树达到最佳砍伐时期。（2）建立林场可持续砍伐模型（记：砍伐周期相同且为T=&）a：选取初始状态，记t=

5、(n+1)等级的木材，对林场进行砍伐，由于砍伐的时间相对于樟树生长周期来说很短暂，可认为砍伐是一次性完成，砍掉J(n+1)等级的树木，补充J1等级的幼苗，树木又恢复初始状态（由于林场较大樟树总数较多，树木死亡率较低，个别死亡的树木相对于林场来说非常小，认为零死亡）。就这样连续砍伐n次.注：n是不确定的，且由n=（b-&）/&决定。1）记：第i次砍伐樟树的利润为gain(i)那么：(7)其中：m(i)为第i次砍伐樟树的数量，且M=等于该林场的樟树的量总和；g为单株樟树种植和砍伐的成本；u为每次砍伐基本消耗成本；为划分后第n+1等级樟树的价格，为第i等级的平均高度2）记：经过n次砍伐后林场总利

6、润gain那么其中如下在单株樟树的一个（最佳出售周期=[种植时，合理出售时]）最佳出售周期为=[0,b]内考查该林场的利润的大小问题。由于取不同的&会得到不同的n,也因此会得到不同的利润gain，即：在内，gain=gain(&)因此林场的利润在假设前提下由&的取值决定，那么在内，记，，只要足够小，那么由搜索法一定能较精确的确定出这样的一个&，使得当时有：即：当时使得林场长期利润gain达到最大,就为砍伐周期。模型分析：模型假设的合理性分析：本方案建立在假设基础正确的基础上，可以得到比较好的砍伐方案，因此假设是否符合实际决定方案的合理性，而根据实际历史资料显示，假设（1）、（2）、（3）都

7、符合常识规律以及实际情况，因此假设的合理性十分明显，这里将不进行讨论。模型结果与实际对比分析:本模型最后的得到的方案是在经过合适的时间段对林场内的樟树进行选择性的砍伐，砍伐等级的J(n+1)的确定使得林场管理者不会砍伐太早而让树木少生长一年而未实现利润最大化，也不会因为砍伐太晚树木成长缓慢带来亏损。而相等的砍伐周期T=的使得可以使得林场管理方便，不会因为频繁砍伐使砍伐成本加大林场利润减小，使林场在长期效益达到最好利润最大